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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > clsocv | Structured version Unicode version |
Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
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clsocv.v |
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clsocv.o |
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clsocv.j |
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clsocv |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cphngp 20823 |
. . . . . . . 8
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2 | ngptps 20325 |
. . . . . . . 8
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3 | 1, 2 | syl 16 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | adantr 465 |
. . . . . 6
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5 | clsocv.v |
. . . . . . 7
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6 | clsocv.j |
. . . . . . 7
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7 | 5, 6 | istps 18672 |
. . . . . 6
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8 | 4, 7 | sylib 196 |
. . . . 5
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9 | topontop 18662 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | syl 16 |
. . . 4
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11 | simpr 461 |
. . . . 5
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12 | toponuni 18663 |
. . . . . 6
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13 | 8, 12 | syl 16 |
. . . . 5
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14 | 11, 13 | sseqtrd 3499 |
. . . 4
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15 | eqid 2454 |
. . . . 5
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16 | 15 | sscls 18791 |
. . . 4
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17 | 10, 14, 16 | syl2anc 661 |
. . 3
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18 | clsocv.o |
. . . 4
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19 | 18 | ocv2ss 18222 |
. . 3
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20 | 17, 19 | syl 16 |
. 2
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21 | 15 | clsss3 18794 |
. . . . . . . 8
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22 | 10, 14, 21 | syl2anc 661 |
. . . . . . 7
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23 | 22, 13 | sseqtr4d 3500 |
. . . . . 6
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24 | 23 | adantr 465 |
. . . . 5
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25 | 5, 18 | ocvss 18219 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . 6
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27 | 26 | sselda 3463 |
. . . . 5
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28 | df-ss 3449 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 24, 28 | sylib 196 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | ineq1d 3658 |
. . . . . . . . . 10
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31 | dfrab3 3732 |
. . . . . . . . . . . 12
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32 | 31 | ineq2i 3656 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | inass 3667 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 32, 33 | eqtr4i 2486 |
. . . . . . . . . 10
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35 | dfrab3 3732 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 30, 34, 35 | 3eqtr4g 2520 |
. . . . . . . . 9
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37 | 15 | clscld 18782 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 10, 14, 37 | syl2anc 661 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | adantr 465 |
. . . . . . . . . 10
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40 | fvex 5808 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . . 13
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42 | 41 | mptiniseg 5439 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | 40, 42 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . . 13
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45 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . . 13
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46 | simpll 753 |
. . . . . . . . . . . . 13
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47 | 8 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 47, 47, 27 | cnmptc 19366 |
. . . . . . . . . . . . 13
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49 | 47 | cnmptid 19365 |
. . . . . . . . . . . . 13
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50 | 6, 44, 45, 46, 47, 48, 49 | cnmpt1ip 20890 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | 44 | cnfldhaus 20495 |
. . . . . . . . . . . . 13
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52 | cphclm 20839 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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53 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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54 | 53 | clm0 20775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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55 | 52, 54 | syl 16 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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56 | 55 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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57 | 0cn 9488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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58 | 56, 57 | syl6eqelr 2551 |
. . . . . . . . . . . . 13
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59 | 44 | cnfldtopon 20493 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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60 | 59 | toponunii 18668 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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61 | 60 | sncld 19106 |
. . . . . . . . . . . . 13
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62 | 51, 58, 61 | sylancr 663 |
. . . . . . . . . . . 12
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63 | cnclima 19003 |
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64 | 50, 62, 63 | syl2anc 661 |
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65 | 43, 64 | syl5eqelr 2547 |
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66 | incld 18778 |
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67 | 39, 65, 66 | syl2anc 661 |
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68 | 36, 67 | eqeltrrd 2543 |
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69 | 17 | adantr 465 |
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71 | 5, 45, 53, 70, 18 | ocvi 18218 |
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72 | 71 | ralrimiva 2829 |
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74 | ssrab 3537 |
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75 | 69, 73, 74 | sylanbrc 664 |
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79 | 78 | a1i 11 |
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80 | 77, 79 | eqssd 3480 |
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81 | rabid2 3002 |
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82 | 80, 81 | sylib 196 |
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83 | 5, 45, 53, 70, 18 | elocv 18217 |
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84 | 24, 27, 82, 83 | syl3anbrc 1172 |
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85 | 84 | ex 434 |
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86 | 85 | ssrdv 3469 |
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87 | 20, 86 | eqssd 3480 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4510 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481 ax-inf2 7957 ax-cnex 9448 ax-resscn 9449 ax-1cn 9450 ax-icn 9451 ax-addcl 9452 ax-addrcl 9453 ax-mulcl 9454 ax-mulrcl 9455 ax-mulcom 9456 ax-addass 9457 ax-mulass 9458 ax-distr 9459 ax-i2m1 9460 ax-1ne0 9461 ax-1rid 9462 ax-rnegex 9463 ax-rrecex 9464 ax-cnre 9465 ax-pre-lttri 9466 ax-pre-lttrn 9467 ax-pre-ltadd 9468 ax-pre-mulgt0 9469 ax-pre-sup 9470 ax-addf 9471 ax-mulf 9472 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-nel 2650 df-ral 2803 df-rex 2804 df-reu 2805 df-rmo 2806 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-pss 3451 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-tp 3989 df-op 3991 df-uni 4199 df-int 4236 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-tr 4493 df-eprel 4739 df-id 4743 df-po 4748 df-so 4749 df-fr 4786 df-se 4787 df-we 4788 df-ord 4829 df-on 4830 df-lim 4831 df-suc 4832 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-f1 5530 df-fo 5531 df-f1o 5532 df-fv 5533 df-isom 5534 df-riota 6160 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-mpt2 6204 df-of 6429 df-om 6586 df-1st 6686 df-2nd 6687 df-supp 6800 df-tpos 6854 df-recs 6941 df-rdg 6975 df-1o 7029 df-2o 7030 df-oadd 7033 df-er 7210 df-map 7325 df-ixp 7373 df-en 7420 df-dom 7421 df-sdom 7422 df-fin 7423 df-fsupp 7731 df-fi 7771 df-sup 7801 df-oi 7834 df-card 8219 df-cda 8447 df-pnf 9530 df-mnf 9531 df-xr 9532 df-ltxr 9533 df-le 9534 df-sub 9707 df-neg 9708 df-div 10104 df-nn 10433 df-2 10490 df-3 10491 df-4 10492 df-5 10493 df-6 10494 df-7 10495 df-8 10496 df-9 10497 df-10 10498 df-n0 10690 df-z 10757 df-dec 10866 df-uz 10972 df-q 11064 df-rp 11102 df-xneg 11199 df-xadd 11200 df-xmul 11201 df-ico 11416 df-icc 11417 df-fz 11554 df-fzo 11665 df-seq 11923 df-exp 11982 df-hash 12220 df-cj 12705 df-re 12706 df-im 12707 df-sqr 12841 df-abs 12842 df-struct 14293 df-ndx 14294 df-slot 14295 df-base 14296 df-sets 14297 df-ress 14298 df-plusg 14369 df-mulr 14370 df-starv 14371 df-sca 14372 df-vsca 14373 df-ip 14374 df-tset 14375 df-ple 14376 df-ds 14378 df-unif 14379 df-hom 14380 df-cco 14381 df-rest 14479 df-topn 14480 df-0g 14498 df-gsum 14499 df-topgen 14500 df-pt 14501 df-prds 14504 df-xrs 14558 df-qtop 14563 df-imas 14564 df-xps 14566 df-mre 14642 df-mrc 14643 df-acs 14645 df-mnd 15533 df-mhm 15582 df-submnd 15583 df-grp 15663 df-minusg 15664 df-sbg 15665 df-mulg 15666 df-subg 15796 df-ghm 15863 df-cntz 15953 df-cmn 16399 df-abl 16400 df-mgp 16713 df-ur 16725 df-rng 16769 df-cring 16770 df-oppr 16837 df-dvdsr 16855 df-unit 16856 df-invr 16886 df-dvr 16897 df-rnghom 16928 df-drng 16956 df-subrg 16985 df-staf 17052 df-srng 17053 df-lmod 17072 df-lmhm 17225 df-lvec 17306 df-sra 17375 df-rgmod 17376 df-psmet 17933 df-xmet 17934 df-met 17935 df-bl 17936 df-mopn 17937 df-cnfld 17943 df-phl 18179 df-ipf 18180 df-ocv 18212 df-top 18634 df-bases 18636 df-topon 18637 df-topsp 18638 df-cld 18754 df-cls 18756 df-cn 18962 df-cnp 18963 df-t1 19049 df-haus 19050 df-tx 19266 df-hmeo 19459 df-xms 20026 df-ms 20027 df-tms 20028 df-nm 20306 df-ngp 20307 df-tng 20308 df-nlm 20310 df-clm 20766 df-cph 20818 df-tch 20819 |
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