MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Unicode version

Theorem clsocv 19157
Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clsocv.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
clsocv.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
clsocv  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( O `  S
) )

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 19089 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
2 ngptps 18602 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  TopSp )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  TopSp )
5 clsocv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 clsocv.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
75, 6istps 16956 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  V ) )
84, 7sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  J  e.  (TopOn `  V )
)
9 topontop 16946 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  V
)  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  J  e.  Top )
11 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  V )
12 toponuni 16947 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  V
)  ->  V  =  U. J )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  V  =  U. J )
1411, 13sseqtrd 3344 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_ 
U. J )
15 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1615sscls 17075 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  C_  (
( cls `  J
) `  S )
)
1710, 14, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
18 clsocv.o . . . 4  |-  O  =  ( ocv `  W
)
1918ocv2ss 16855 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( O `  S ) )
2017, 19syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  C_  ( O `  S ) )
2115clsss3 17078 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
2210, 14, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2322, 13sseqtr4d 3345 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  V )
2423adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  V )
255, 18ocvss 16852 . . . . . . 7  |-  ( O `
 S )  C_  V
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  S )  C_  V )
2726sselda 3308 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  x  e.  V )
28 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  V  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
V )  =  ( ( cls `  J
) `  S )
)
2924, 28sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  V )  =  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3029ineq1d 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
31 dfrab3 3577 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  =  ( V  i^i  { y  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
3231ineq2i 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  ( V  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
33 inass 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  ( V  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
3432, 33eqtr4i 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
35 dfrab3 3577 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
{ y  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3630, 34, 353eqtr4g 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  {
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
3715clscld 17066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3810, 14, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
3938adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
40 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )
4241mptiniseg 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
4340, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
44 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
45 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
46 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  W  e.  CPreHil )
478adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  J  e.  (TopOn `  V
) )
4847, 47, 27cnmptc 17647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
4947cnmptid 17646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 19154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5144cnfldhaus 18772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
52 cphclm 19105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
53 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5453clm0 19050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
57 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
5856, 57syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
5944cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
6059toponunii 16952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
6160sncld 17389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
6251, 58, 61sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
63 cnclima 17286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
6450, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
6543, 64syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
66 incld 17062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
6739, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
6836, 67eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
6917adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
70 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
715, 45, 53, 70, 18ocvi 16851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( O `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
7271ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( O `  S )  ->  A. y  e.  S  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
7372adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
74 ssrab 3381 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <-> 
( S  C_  (
( cls `  J
) `  S )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
7569, 73, 74sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
7615clsss2 17091 . . . . . . . 8  |-  ( ( { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
7768, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_ 
{ y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
78 ssrab2 3388 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
)
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
8077, 79eqssd 3325 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
81 rabid2 2845 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <->  A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8280, 81sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
835, 45, 53, 70, 18elocv 16850 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
8424, 27, 82, 83syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
8584ex 424 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
x  e.  ( O `
 S )  ->  x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) )
8685ssrdv 3314 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  S )  C_  ( O `  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8720, 86eqssd 3325 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( O `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .icip 13489   TopOpenctopn 13604   0gc0g 13678  ℂfldccnfld 16658   ocvcocv 16842   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   TopSpctps 16916   Clsdccld 17035   clsccl 17037    Cn ccn 17242   Hauscha 17326  NrmGrpcngp 18578  CModcclm 19040   CPreHilccph 19082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-ipf 16813  df-ocv 16845  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cls 17040  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-tng 18585  df-nlm 18587  df-clm 19041  df-cph 19084  df-tch 19085
  Copyright terms: Public domain W3C validator