MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem clsocv 22299
Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clsocv.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
clsocv.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
clsocv  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( O `  S
) )

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 22229 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
2 ngptps 21694 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  TopSp )
43adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  TopSp )
5 clsocv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 clsocv.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
75, 6istps 20028 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  V ) )
84, 7sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  J  e.  (TopOn `  V )
)
9 topontop 20018 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  V
)  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  J  e.  Top )
11 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  V )
12 toponuni 20019 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  V
)  ->  V  =  U. J )
138, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  V  =  U. J )
1411, 13sseqtrd 3454 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_ 
U. J )
15 eqid 2471 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1615sscls 20148 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  C_  (
( cls `  J
) `  S )
)
1710, 14, 16syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
18 clsocv.o . . . 4  |-  O  =  ( ocv `  W
)
1918ocv2ss 19313 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( O `  S ) )
2017, 19syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  C_  ( O `  S ) )
2115clsss3 20151 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
2210, 14, 21syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2322, 13sseqtr4d 3455 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  V )
2423adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  V )
255, 18ocvss 19310 . . . . . . 7  |-  ( O `
 S )  C_  V
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  S )  C_  V )
2726sselda 3418 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  x  e.  V )
28 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  V  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
V )  =  ( ( cls `  J
) `  S )
)
2924, 28sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  V )  =  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3029ineq1d 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
31 dfrab3 3709 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  =  ( V  i^i  { y  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
3231ineq2i 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  ( V  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
33 inass 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  ( V  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
3432, 33eqtr4i 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
35 dfrab3 3709 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
{ y  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3630, 34, 353eqtr4g 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  {
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
3715clscld 20139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3810, 14, 37syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
3938adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
40 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )
4241mptiniseg 5336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
4340, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
44 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
45 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
46 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  W  e.  CPreHil )
478adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  J  e.  (TopOn `  V
) )
4847, 47, 27cnmptc 20754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
4947cnmptid 20753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 22296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5144cnfldhaus 21883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
52 cphclm 22245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
53 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5453clm0 22181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
5655ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
57 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
5856, 57syl6eqelr 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
5944cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
6059toponunii 20024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
6160sncld 20464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
6251, 58, 61sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
63 cnclima 20361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
6450, 62, 63syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
6543, 64syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
66 incld 20135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
6739, 65, 66syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
6836, 67eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
6917adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
70 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
715, 45, 53, 70, 18ocvi 19309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( O `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
7271ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( O `  S )  ->  A. y  e.  S  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
7372adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
74 ssrab 3493 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <-> 
( S  C_  (
( cls `  J
) `  S )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
7569, 73, 74sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
7615clsss2 20165 . . . . . . . 8  |-  ( ( { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
7768, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_ 
{ y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
78 ssrab2 3500 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
)
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
8077, 79eqssd 3435 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
81 rabid2 2954 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <->  A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8280, 81sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
835, 45, 53, 70, 18elocv 19308 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
8424, 27, 82, 83syl3anbrc 1214 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
8584ex 441 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
x  e.  ( O `
 S )  ->  x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) )
8685ssrdv 3424 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  S )  C_  ( O `  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8720, 86eqssd 3435 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( O `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   Basecbs 15199  Scalarcsca 15271   .icip 15273   TopOpenctopn 15398   0gc0g 15416  ℂfldccnfld 19047   ocvcocv 19300   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopSpctps 19996   Clsdccld 20108   clsccl 20110    Cn ccn 20317   Hauscha 20401  NrmGrpcngp 21670  CModcclm 22171   CPreHilccph 22222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-ipf 19271  df-ocv 19303  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-tng 21677  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-tch 22225
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator