MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsocv Structured version   Unicode version

Theorem clsocv 20893
Description: The orthogonal complement of the closure of a subset is the same as the orthogonal complement of the subset itself. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clsocv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
clsocv.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
clsocv.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
Assertion
Ref Expression
clsocv  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( O `  S
) )

Proof of Theorem clsocv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphngp 20823 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
2 ngptps 20325 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  TopSp )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  W  e.  TopSp )
5 clsocv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 clsocv.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
75, 6istps 18672 . . . . . 6  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  V ) )
84, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  J  e.  (TopOn `  V )
)
9 topontop 18662 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  V
)  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  J  e.  Top )
11 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  V )
12 toponuni 18663 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  V
)  ->  V  =  U. J )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  V  =  U. J )
1411, 13sseqtrd 3499 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_ 
U. J )
15 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1615sscls 18791 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  C_  (
( cls `  J
) `  S )
)
1710, 14, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  S  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
18 clsocv.o . . . 4  |-  O  =  ( ocv `  W
)
1918ocv2ss 18222 . . 3  |-  ( S 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( O `  S ) )
2017, 19syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  C_  ( O `  S ) )
2115clsss3 18794 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
2210, 14, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2322, 13sseqtr4d 3500 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  V )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  V )
255, 18ocvss 18219 . . . . . . 7  |-  ( O `
 S )  C_  V
2625a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  S )  C_  V )
2726sselda 3463 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  x  e.  V )
28 df-ss 3449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  V  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
V )  =  ( ( cls `  J
) `  S )
)
2924, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  V )  =  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3029ineq1d 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
31 dfrab3 3732 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  =  ( V  i^i  { y  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
3231ineq2i 3656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  ( V  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
33 inass 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  ( V  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
3432, 33eqtr4i 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  i^i  V )  i^i  {
y  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
35 dfrab3 3732 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  =  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  i^i 
{ y  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
3630, 34, 353eqtr4g 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  {
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )
3715clscld 18782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3810, 14, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
40 fvex 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  e.  _V
41 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )  =  ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W ) y ) )
4241mptiniseg 5439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e. 
_V  ->  ( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W ) y ) ) " { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
4340, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) ) " {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  =  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }
44 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
45 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
46 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  W  e.  CPreHil )
478adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  J  e.  (TopOn `  V
) )
4847, 47, 27cnmptc 19366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
4947cnmptid 19365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
506, 44, 45, 46, 47, 48, 49cnmpt1ip 20890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
5144cnfldhaus 20495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
52 cphclm 20839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
53 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5453clm0 20775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
5552, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
57 0cn 9488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
5856, 57syl6eqelr 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )
5944cnfldtopon 20493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
6059toponunii 18668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
6160sncld 19106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  e.  CC )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
6251, 58, 61sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
63 cnclima 19003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  V  |->  ( x ( .i
`  W ) y ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  /\  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )  -> 
( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
6450, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( `' ( y  e.  V  |->  ( x ( .i `  W
) y ) )
" { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } )  e.  ( Clsd `  J
) )
6543, 64syl5eqelr 2547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  V  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
66 incld 18778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
6739, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  i^i  { y  e.  V  |  (
x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  e.  (
Clsd `  J )
)
6836, 67eqeltrrd 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
6917adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
70 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
715, 45, 53, 70, 18ocvi 18218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( O `
 S )  /\  y  e.  S )  ->  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
7271ralrimiva 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( O `  S )  ->  A. y  e.  S  ( x
( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
7372adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
74 ssrab 3537 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <-> 
( S  C_  (
( cls `  J
) `  S )  /\  A. y  e.  S  ( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
7569, 73, 74sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
7615clsss2 18807 . . . . . . . 8  |-  ( ( { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
7768, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_ 
{ y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
78 ssrab2 3544 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |  ( x ( .i `  W
) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
)
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
8077, 79eqssd 3480 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )
81 rabid2 3002 . . . . . 6  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  =  { y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |  ( x ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) }  <->  A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8280, 81sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
835, 45, 53, 70, 18elocv 18217 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 S )  C_  V  /\  x  e.  V  /\  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( x ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
8424, 27, 82, 83syl3anbrc 1172 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  /\  x  e.  ( O `  S ) )  ->  x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
) )
8584ex 434 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  (
x  e.  ( O `
 S )  ->  x  e.  ( O `  ( ( cls `  J
) `  S )
) ) )
8685ssrdv 3469 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  S )  C_  ( O `  (
( cls `  J
) `  S )
) )
8720, 86eqssd 3480 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( O `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( O `  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2798   {crab 2802   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   {csn 3984   U.cuni 4198    |-> cmpt 4457   `'ccnv 4946   "cima 4950   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392   Basecbs 14291  Scalarcsca 14359   .icip 14361   TopOpenctopn 14478   0gc0g 14496  ℂfldccnfld 17942   ocvcocv 18209   Topctop 18629  TopOnctopon 18630   TopSpctps 18632   Clsdccld 18751   clsccl 18753    Cn ccn 18959   Hauscha 19043  NrmGrpcngp 20301  CModcclm 20765   CPreHilccph 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-tpos 6854  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-mhm 15582  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-mulg 15666  df-subg 15796  df-ghm 15863  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-abl 16400  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-oppr 16837  df-dvdsr 16855  df-unit 16856  df-invr 16886  df-dvr 16897  df-rnghom 16928  df-drng 16956  df-subrg 16985  df-staf 17052  df-srng 17053  df-lmod 17072  df-lmhm 17225  df-lvec 17306  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-phl 18179  df-ipf 18180  df-ocv 18212  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-cls 18756  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-t1 19049  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-nm 20306  df-ngp 20307  df-tng 20308  df-nlm 20310  df-clm 20766  df-cph 20818  df-tch 20819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator