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Theorem clsnsg 21111
Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
clsnsg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16837 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgntr.h . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
32clssubg 21110 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
41, 3sylan2 476 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
5 df-ima 4863 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
72, 6tgptopon 21084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
87ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
9 topontop 19928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  Top )
111ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
126subgss 16806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
14 toponuni 19929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
158, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1613, 15sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_ 
U. J )
17 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
1817clsss3 20061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
1910, 16, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2019, 15sseqtr4d 3501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
2120resmptd 5172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
2221rneqd 5078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
235, 22syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
24 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
25 tgptmd 21081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  G  e. TopMnd )
27 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
288, 8, 27cnmptc 20664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
298cnmptid 20663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
302, 24, 26, 8, 28, 29cnmpt1plusg 21089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
322, 31tgpsubcn 21092 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3332ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
348, 30, 28, 33cnmpt12f 20668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3517cnclsi 20275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) ) )
3634, 16, 35syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) ) )
37 df-ima 4863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )
3813resmptd 5172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
3938rneqd 5078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
4037, 39syl5eq 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
416, 24, 31nsgconj 16838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  S
)
42413expa 1205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  S )
4342adantlll 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  S )
44 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
4543, 44fmptd 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S )
46 frn 5749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4840, 47eqsstrd 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) 
C_  S )
4917clsss 20056 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  C_  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5010, 16, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5136, 50sstrd 3474 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
5223, 51eqsstr3d 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
53 ovex 6330 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  _V
54 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
5553, 54fnmpti 5721 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )
56 df-f 5602 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5755, 56mpbiran 926 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
5852, 57sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
5954fmpt 6055 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6058, 59sylibr 215 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
6160ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
626, 24, 31isnsg3 16839 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
634, 61, 62sylanbrc 668 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    C_ wss 3436   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   ran crn 4851    |` cres 4852   "cima 4853    Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Basecbs 15109   +g cplusg 15178   TopOpenctopn 15308   -gcsg 16659  SubGrpcsubg 16799  NrmSGrpcnsg 16800   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   clsccl 20020    Cn ccn 20227    tX ctx 20562  TopMndctmd 21072   TopGrpctgp 21073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-topgen 15330  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-nsg 16803  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-tx 20564  df-tmd 21074  df-tgp 21075
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