Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsnsg Structured version   Unicode version

Theorem clsnsg 20435
 Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
clsnsg NrmSGrp NrmSGrp

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16047 . . 3 NrmSGrp SubGrp
2 subgntr.h . . . 4
32clssubg 20434 . . 3 SubGrp SubGrp
41, 3sylan2 474 . 2 NrmSGrp SubGrp
5 df-ima 5012 . . . . . . 7
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
72, 6tgptopon 20408 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp TopOn
9 topontop 19234 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
111ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 NrmSGrp SubGrp
126subgss 16016 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
14 toponuni 19235 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
158, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
1613, 15sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
1817clsss3 19366 . . . . . . . . . . 11
1910, 16, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
2019, 15sseqtr4d 3541 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
21 resmpt 5323 . . . . . . . . 9
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8 NrmSGrp
2322rneqd 5230 . . . . . . 7 NrmSGrp
245, 23syl5eq 2520 . . . . . 6 NrmSGrp
25 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
26 tgptmd 20405 . . . . . . . . . . 11 TopMnd
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp TopMnd
28 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
298, 8, 28cnmptc 19990 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
308cnmptid 19989 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
312, 25, 27, 8, 29, 30cnmpt1plusg 20413 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
32 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
332, 32tgpsubcn 20416 . . . . . . . . . 10
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
358, 31, 29, 34cnmpt12f 19994 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3617cnclsi 19579 . . . . . . . 8
3735, 16, 36syl2anc 661 . . . . . . 7 NrmSGrp
38 df-ima 5012 . . . . . . . . . 10
39 resmpt 5323 . . . . . . . . . . . 12
4013, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
4140rneqd 5230 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
4238, 41syl5eq 2520 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
436, 25, 32nsgconj 16048 . . . . . . . . . . . . 13 NrmSGrp
44433expa 1196 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
4544adantlll 717 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
4745, 46fmptd 6046 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
48 frn 5737 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
5042, 49eqsstrd 3538 . . . . . . . 8 NrmSGrp
5117clsss 19361 . . . . . . . 8
5210, 16, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . . 7 NrmSGrp
5337, 52sstrd 3514 . . . . . 6 NrmSGrp
5424, 53eqsstr3d 3539 . . . . 5 NrmSGrp
55 ovex 6310 . . . . . . 7
56 eqid 2467 . . . . . . 7
5755, 56fnmpti 5709 . . . . . 6
58 df-f 5592 . . . . . 6
5957, 58mpbiran 916 . . . . 5
6054, 59sylibr 212 . . . 4 NrmSGrp
6156fmpt 6043 . . . 4
6260, 61sylibr 212 . . 3 NrmSGrp
6362ralrimiva 2878 . 2 NrmSGrp
646, 25, 32isnsg3 16049 . 2 NrmSGrp SubGrp
654, 63, 64sylanbrc 664 1 NrmSGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814   wss 3476  cuni 4245   cmpt 4505   crn 5000   cres 5001  cima 5002   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285  cbs 14493   cplusg 14558  ctopn 14680  csg 15733  SubGrpcsubg 16009  NrmSGrpcnsg 16010  ctop 19201  TopOnctopon 19202  ccl 19325   ccn 19531   ctx 19888  TopMndctmd 20396  ctgp 20397 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-topgen 14702  df-mnd 15735  df-plusf 15736  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-nsg 16013  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-tx 19890  df-tmd 20398  df-tgp 20399 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator