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Theorem clsnsg 20774
Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
clsnsg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16432 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgntr.h . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
32clssubg 20773 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
41, 3sylan2 472 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
5 df-ima 5001 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
72, 6tgptopon 20747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
87ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
9 topontop 19594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  Top )
111ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
126subgss 16401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
14 toponuni 19595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
158, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1613, 15sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_ 
U. J )
17 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
1817clsss3 19727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
1910, 16, 18syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2019, 15sseqtr4d 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
2120resmptd 5313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
2221rneqd 5219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
235, 22syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
24 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
25 tgptmd 20744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  G  e. TopMnd )
27 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
288, 8, 27cnmptc 20329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
298cnmptid 20328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
302, 24, 26, 8, 28, 29cnmpt1plusg 20752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
31 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
322, 31tgpsubcn 20755 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
348, 30, 28, 33cnmpt12f 20333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3517cnclsi 19940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) ) )
3634, 16, 35syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) ) )
37 df-ima 5001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )
3813resmptd 5313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
3938rneqd 5219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
4037, 39syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
416, 24, 31nsgconj 16433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  S
)
42413expa 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  S )
4342adantlll 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  S )
44 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
4543, 44fmptd 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S )
46 frn 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4840, 47eqsstrd 3523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) 
C_  S )
4917clsss 19722 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  C_  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5010, 16, 48, 49syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5136, 50sstrd 3499 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
5223, 51eqsstr3d 3524 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
53 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  _V
54 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
5553, 54fnmpti 5691 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )
56 df-f 5574 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5755, 56mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
5852, 57sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
5954fmpt 6028 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6058, 59sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
6160ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
626, 24, 31isnsg3 16434 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
634, 61, 62sylanbrc 662 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   TopOpenctopn 14911   -gcsg 16254  SubGrpcsubg 16394  NrmSGrpcnsg 16395   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   clsccl 19686    Cn ccn 19892    tX ctx 20227  TopMndctmd 20735   TopGrpctgp 20736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-topgen 14933  df-plusf 16070  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-nsg 16398  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-tx 20229  df-tmd 20737  df-tgp 20738
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