Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsnsg Structured version   Unicode version

Theorem clsnsg 21111
 Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
clsnsg NrmSGrp NrmSGrp

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16837 . . 3 NrmSGrp SubGrp
2 subgntr.h . . . 4
32clssubg 21110 . . 3 SubGrp SubGrp
41, 3sylan2 476 . 2 NrmSGrp SubGrp
5 df-ima 4863 . . . . . . 7
6 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14
72, 6tgptopon 21084 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
87ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp TopOn
9 topontop 19928 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
111ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 NrmSGrp SubGrp
126subgss 16806 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
14 toponuni 19929 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
158, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
1613, 15sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
17 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
1817clsss3 20061 . . . . . . . . . . 11
1910, 16, 18syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
2019, 15sseqtr4d 3501 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
2120resmptd 5172 . . . . . . . 8 NrmSGrp
2221rneqd 5078 . . . . . . 7 NrmSGrp
235, 22syl5eq 2475 . . . . . 6 NrmSGrp
24 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
25 tgptmd 21081 . . . . . . . . . . 11 TopMnd
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp TopMnd
27 simpr 462 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
288, 8, 27cnmptc 20664 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
298cnmptid 20663 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
302, 24, 26, 8, 28, 29cnmpt1plusg 21089 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
31 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
322, 31tgpsubcn 21092 . . . . . . . . . 10
3332ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
348, 30, 28, 33cnmpt12f 20668 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3517cnclsi 20275 . . . . . . . 8
3634, 16, 35syl2anc 665 . . . . . . 7 NrmSGrp
37 df-ima 4863 . . . . . . . . . 10
3813resmptd 5172 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
3938rneqd 5078 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
4037, 39syl5eq 2475 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
416, 24, 31nsgconj 16838 . . . . . . . . . . . . 13 NrmSGrp
42413expa 1205 . . . . . . . . . . . 12 NrmSGrp
4342adantlll 722 . . . . . . . . . . 11 NrmSGrp
44 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
4543, 44fmptd 6058 . . . . . . . . . 10 NrmSGrp
46 frn 5749 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
4840, 47eqsstrd 3498 . . . . . . . 8 NrmSGrp
4917clsss 20056 . . . . . . . 8
5010, 16, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . 7 NrmSGrp
5136, 50sstrd 3474 . . . . . 6 NrmSGrp
5223, 51eqsstr3d 3499 . . . . 5 NrmSGrp
53 ovex 6330 . . . . . . 7
54 eqid 2422 . . . . . . 7
5553, 54fnmpti 5721 . . . . . 6
56 df-f 5602 . . . . . 6
5755, 56mpbiran 926 . . . . 5
5852, 57sylibr 215 . . . 4 NrmSGrp
5954fmpt 6055 . . . 4
6058, 59sylibr 215 . . 3 NrmSGrp
6160ralrimiva 2839 . 2 NrmSGrp
626, 24, 31isnsg3 16839 . 2 NrmSGrp SubGrp
634, 61, 62sylanbrc 668 1 NrmSGrp NrmSGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775   wss 3436  cuni 4216   cmpt 4479   crn 4851   cres 4852  cima 4853   wfn 5593  wf 5594  cfv 5598  (class class class)co 6302  cbs 15109   cplusg 15178  ctopn 15308  csg 16659  SubGrpcsubg 16799  NrmSGrpcnsg 16800  ctop 19904  TopOnctopon 19905  ccl 20020   ccn 20227   ctx 20562  TopMndctmd 21072  ctgp 21073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-topgen 15330  df-plusf 16475  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-subg 16802  df-nsg 16803  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-tx 20564  df-tmd 21074  df-tgp 21075 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator