MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsnsg Structured version   Unicode version

Theorem clsnsg 20435
Description: The closure of a normal subgroup is a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
clsnsg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )

Proof of Theorem clsnsg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16047 . . 3  |-  ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgntr.h . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
32clssubg 20434 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
41, 3sylan2 474 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (SubGrp `  G ) )
5 df-ima 5012 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
72, 6tgptopon 20408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
9 topontop 19234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  J  e.  Top )
111ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
126subgss 16016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
14 toponuni 19235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
158, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1613, 15sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  S  C_ 
U. J )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
1817clsss3 19366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  U. J )
1910, 16, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_ 
U. J )
2019, 15sseqtr4d 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
21 resmpt 5323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
2322rneqd 5230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
245, 23syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
26 tgptmd 20405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  G  e. TopMnd )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
298, 8, 28cnmptc 19990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
308cnmptid 19989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
312, 25, 27, 8, 29, 30cnmpt1plusg 20413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
32 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
332, 32tgpsubcn 20416 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( -g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
358, 31, 29, 34cnmpt12f 19994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3617cnclsi 19579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) "
( ( cls `  J
) `  S )
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) ) )
3735, 16, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) ) )
38 df-ima 5012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  =  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )
39 resmpt 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) )
4013, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
4140rneqd 5230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  |`  S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) )
4238, 41syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S )  =  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) )
436, 25, 32nsgconj 16048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  S
)
44433expa 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x )  e.  S )
4544adantlll 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G ) )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  S )
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
4745, 46fmptd 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S )
48 frn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : S --> S  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  S  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  S )
5042, 49eqsstrd 3538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " S ) 
C_  S )
5117clsss 19361 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J  /\  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S )  C_  S
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5210, 16, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) ) " S ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
5337, 52sstrd 3514 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) ) " ( ( cls `  J ) `
 S ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
5424, 53eqsstr3d 3539 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
55 ovex 6310 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  _V
56 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  =  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )
5755, 56fnmpti 5709 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )
58 df-f 5592 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x ) )  Fn  ( ( cls `  J
) `  S )  /\  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) ) )
5957, 58mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
)  <->  ran  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  S ) )
6054, 59sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6156fmpt 6043 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) ( ( x ( +g  `  G
) y ) (
-g `  G )
x )  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  ( y  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G
) x ) ) : ( ( cls `  J ) `  S
) --> ( ( cls `  J ) `  S
) )
6260, 61sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
6362ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) )
646, 25, 32isnsg3 16049 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G )  <->  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  (SubGrp `  G )  /\  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  (
( cls `  J
) `  S )
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( -g `  G ) x )  e.  ( ( cls `  J ) `  S
) ) )
654, 63, 64sylanbrc 664 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (NrmSGrp `  G )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  e.  (NrmSGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   TopOpenctopn 14680   -gcsg 15733  SubGrpcsubg 16009  NrmSGrpcnsg 16010   Topctop 19201  TopOnctopon 19202   clsccl 19325    Cn ccn 19531    tX ctx 19888  TopMndctmd 20396   TopGrpctgp 20397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-topgen 14702  df-mnd 15735  df-plusf 15736  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-nsg 16013  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-tx 19890  df-tmd 20398  df-tgp 20399
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator