Theorem clslp 9024

Description: The closure of a subset of a topological space is the subset together with its limit points. Theorem 6.6 of [Munkres] p. 97.

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
clslp	|- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))

Proof of Theorem clslp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U.J
2	1	neindisj 9007	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ (x e. ((cls` J)` S) /\ n e. ((nei` J)` {x}))) -> (n i^i S) =/= (/))
3	2	expr 418	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i S) =/= (/)))
4	3	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i S) =/= (/)))
5		difsn 3125	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x e. S -> (S \ {x}) = S)
6	5	ineq2d 2796	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. x e. S -> (n i^i (S \ {x})) = (n i^i S))
7	6	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . 11 |- (-. x e. S -> ((n i^i (S \ {x})) =/= (/) <-> (n i^i S) =/= (/)))
8	7	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> ((n i^i (S \ {x})) =/= (/) <-> (n i^i S) =/= (/)))
9	4, 8	sylibrd 221	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) /\ -. x e. S) -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
10	9	ex 402	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> (n e. ((nei` J)` {x}) -> (n i^i (S \ {x})) =/= (/))))
11	10	r19.21adv 2181	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
12		simpll 448	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> J e. Top)
13		simplr 449	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> S C_ X)
14	1	clsss3 8967	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((cls` J)` S) C_ X)
15	14	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (x e. ((cls` J)` S) -> x e. X))
16	15	imp 377	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> x e. X)
17	1	islp2 9023	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ x e. X) -> (x e. ((limPt` J)` S) <-> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
18	12, 13, 16, 17	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (x e. ((limPt` J)` S) <-> A.n e. ((nei` J)` {x})(n i^i (S \ {x})) =/= (/)))
19	11, 18	sylibrd 221	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (-. x e. S -> x e. ((limPt` J)` S)))
20	19	orrd 250	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> (x e. S \/ x e. ((limPt` J)` S)))
21		elun 2741	. . . . 5 |- (x e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (x e. S \/ x e. ((limPt` J)` S)))
22	20, 21	sylibr 217	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ x e. ((cls` J)` S)) -> x e. (S u. ((limPt` J)` S)))
23	22	ex 402	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (x e. ((cls` J)` S) -> x e. (S u. ((limPt` J)` S))))
24	23	ssrdv 2622	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((cls` J)` S) C_ (S u. ((limPt` J)` S)))
25	1	sscls 8965	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S C_ ((cls` J)` S))
26	1	lpsscls 9021	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((limPt` J)` S) C_ ((cls` J)` S))
27	25, 26	jca 310	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (S C_ ((cls` J)` S) /\ ((limPt` J)` S) C_ ((cls` J)` S)))
28		unss 2780	. . 3 |- ((S C_ ((cls` J)` S) /\ ((limPt` J)` S) C_ ((cls` J)` S)) <-> (S u. ((limPt` J)` S)) C_ ((cls` J)` S))
29	27, 28	sylib 215	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (S u. ((limPt` J)` S)) C_ ((cls` J)` S))
30	24, 29	eqssd 2633	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  clsccl 8938  neicnei 8988  limPtclp 9016

This theorem is referenced by:  islpi 9025  cldlp 9026  metelcls 9243  heiborlem15 15969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-lp 9017

Copyright terms: Public domain