Theorem clsint 14860

Description: The closure of an intersection is included in the intersection of the closures.

Hypothesis

Ref	Expression
clsint.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
clsint	|- ((J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ X) -> ((cls` J)` (S i^i T)) C_ (((cls` J)` S) i^i ((cls` J)` S)))

Proof of Theorem clsint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clsint.1	. . . . 5 |- X = U.J
2	1	clsss 8963	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ (S i^i T) C_ S) -> ((cls` J)` (S i^i T)) C_ ((cls` J)` S))
3		inss1 2812	. . . . 5 |- (S i^i T) C_ S
4	3	a1i 8	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ X) -> (S i^i T) C_ S)
5	2, 4	syld3an3 1142	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ X) -> ((cls` J)` (S i^i T)) C_ ((cls` J)` S))
6	5, 5	jca 310	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ X) -> (((cls` J)` (S i^i T)) C_ ((cls` J)` S) /\ ((cls` J)` (S i^i T)) C_ ((cls` J)` S)))
7		ssin 2814	. 2 |- ((((cls` J)` (S i^i T)) C_ ((cls` J)` S) /\ ((cls` J)` (S i^i T)) C_ ((cls` J)` S)) <-> ((cls` J)` (S i^i T)) C_ (((cls` J)` S) i^i ((cls` J)` S)))
8	6, 7	sylib 215	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ X) -> ((cls` J)` (S i^i T)) C_ (((cls` J)` S) i^i ((cls` J)` S)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  clsccl 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-cls 8941

Copyright terms: Public domain