MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsidm Structured version   Unicode version

Theorem clsidm 19695
Description: The closure operation is idempotent. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsidm  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( cls `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem clsidm
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clscld 19675 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
31clsss3 19687 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
41iscld3 19692 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  (
( cls `  J
) `  S )
)  =  ( ( cls `  J ) `
 S ) ) )
53, 4syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  =  ( ( cls `  J ) `
 S ) ) )
62, 5mpbid 210 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( cls `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19521   Clsdccld 19644   clsccl 19646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-top 19526  df-cld 19647  df-cls 19649
This theorem is referenced by:  kur14lem5  28851  opnregcld  30353
  Copyright terms: Public domain W3C validator