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Theorem clscon 19797
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clscon |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con )
Proof of Theorem clscon
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1037 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Con )
2 simpll1 1035 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3 simpll2 1036 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ X )
4 simplrl 759 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> x e. J )
5 simplrr 760 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> y e. J )
6 simprl1 1041 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) )
7 n0 3799 . . . . . . . . 9 |- ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> E. z z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
92adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10 topontop 19294 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
123adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
13 toponuni 19295 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
149, 13syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> X = U. J )
1512, 14sseqtrd 3545 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ U. J )
16 inss2 3724 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` A )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
1816, 17sseldi 3507 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
194adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> x e. J )
20 inss1 3723 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ x
2120, 17sseldi 3507 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. x )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
2322clsndisj 19442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( x e. J /\ z e. x ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
2411, 15, 18, 19, 21, 23syl32anc 1236 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
258, 24exlimddv 1702 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
26 simprl2 1042 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) )
27 n0 3799 . . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> E. z z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
292adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3029, 10syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
313adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
3229, 13syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> X = U. J )
3331, 32sseqtrd 3545 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ U. J )
34 inss2 3724 . . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` A )
35 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
3634, 35sseldi 3507 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
375adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> y e. J )
38 inss1 3723 . . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ y
3938, 35sseldi 3507 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. y )
4022clsndisj 19442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( y e. J /\ z e. y ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
4130, 33, 36, 37, 39, 40syl32anc 1236 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
4228, 41exlimddv 1702 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
43 simprl3 1043 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
442, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> J e. Top )
452, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> X = U. J )
463, 45sseqtrd 3545 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ U. J )
4722sscls 19423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A C_ ( ( cls ` J ) ` A ) )
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ ( ( cls ` J ) ` A ) )
4948sscond 3646 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( X \ A ) )
5043, 49sstrd 3519 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( X \ A ) )
51 ssv 3529 . . . . . . . . . 10 |- X C_ _V
52 ssdif 3644 . . . . . . . . . 10 |- ( X C_ _V -> ( X \ A ) C_ ( _V \ A ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( X \ A ) C_ ( _V \ A )
5450, 53syl6ss 3521 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( _V \ A ) )
55 disj2 3879 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) i^i A ) = (/) <-> ( x i^i y ) C_ ( _V \ A ) )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i A ) = (/) )
57 simprr 756 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) )
5848, 57sstrd 3519 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ ( x u. y ) )
592, 3, 4, 5, 25, 42, 56, 58nconsubb 19790 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> -. ( J ↾t A ) e. Con )
6059expr 615 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) -> -. ( J ↾t A ) e. Con ) )
611, 60mt2d 117 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) )
6261ex 434 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) )
6362ralrimivva 2888 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) )
64 simp1 996 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6513sseq2d 3537 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
6665biimpa 484 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> A C_ U. J )
6722clsss3 19426 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
6810, 67sylan 471 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
6966, 68syldan 470 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
7013adantr 465 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> X = U. J )
7169, 70sseqtr4d 3546 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
72713adant3 1016 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
73 connsub 19788 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) )
7464, 72, 73syl2anc 661 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) )
7563, 74mpbird 232 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   u. cun 3479   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ↾t crest 14692   Topctop 19261  TopOnctopon 19262   clsccl 19385   Conccon 19778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-rest 14694  df-topgen 14715  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-con 19779
This theorem is referenced by:  concompcld  19801
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