MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clscon Structured version   Unicode version
Theorem clscon 20225
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clscon |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con )
Proof of Theorem clscon
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1040 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Con )
2 simpll1 1038 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3 simpll2 1039 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ X )
4 simplrl 764 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> x e. J )
5 simplrr 765 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> y e. J )
6 simprl1 1044 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) )
7 n0 3750 . . . . . . . . 9 |- ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
86, 7sylib 198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> E. z z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
92adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10 topontop 19721 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
123adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
13 toponuni 19722 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> X = U. J )
1512, 14sseqtrd 3480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ U. J )
16 inss2 3662 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` A )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
1816, 17sseldi 3442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
194adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> x e. J )
20 inss1 3661 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ x
2120, 17sseldi 3442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. x )
22 eqid 2404 . . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
2322clsndisj 19871 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( x e. J /\ z e. x ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
2411, 15, 18, 19, 21, 23syl32anc 1240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
258, 24exlimddv 1749 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
26 simprl2 1045 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) )
27 n0 3750 . . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
2826, 27sylib 198 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> E. z z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
292adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3029, 10syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
313adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
3229, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> X = U. J )
3331, 32sseqtrd 3480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ U. J )
34 inss2 3662 . . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` A )
35 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
3634, 35sseldi 3442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
375adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> y e. J )
38 inss1 3661 . . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ y
3938, 35sseldi 3442 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. y )
4022clsndisj 19871 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( y e. J /\ z e. y ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
4130, 33, 36, 37, 39, 40syl32anc 1240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
4228, 41exlimddv 1749 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
43 simprl3 1046 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
442, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> J e. Top )
452, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> X = U. J )
463, 45sseqtrd 3480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ U. J )
4722sscls 19851 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A C_ ( ( cls ` J ) ` A ) )
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ ( ( cls ` J ) ` A ) )
4948sscond 3582 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( X \ A ) )
5043, 49sstrd 3454 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( X \ A ) )
51 ssv 3464 . . . . . . . . . 10 |- X C_ _V
52 ssdif 3580 . . . . . . . . . 10 |- ( X C_ _V -> ( X \ A ) C_ ( _V \ A ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( X \ A ) C_ ( _V \ A )
5450, 53syl6ss 3456 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( _V \ A ) )
55 disj2 3819 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) i^i A ) = (/) <-> ( x i^i y ) C_ ( _V \ A ) )
5654, 55sylibr 214 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i A ) = (/) )
57 simprr 760 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) )
5848, 57sstrd 3454 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ ( x u. y ) )
592, 3, 4, 5, 25, 42, 56, 58nconsubb 20218 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> -. ( J ↾t A ) e. Con )
6059expr 615 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) -> -. ( J ↾t A ) e. Con ) )
611, 60mt2d 119 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) )
6261ex 434 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) )
6362ralrimivva 2827 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) )
64 simp1 999 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6513sseq2d 3472 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
6665biimpa 484 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> A C_ U. J )
6722clsss3 19854 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
6810, 67sylan 471 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
6966, 68syldan 470 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
7013adantr 465 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> X = U. J )
7169, 70sseqtr4d 3481 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
72713adant3 1019 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
73 connsub 20216 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) )
7464, 72, 73syl2anc 661 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) )
7563, 74mpbird 234 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   E.wex 1635   e. wcel 1844   =/= wne 2600   A.wral 2756   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3740   U.cuni 4193   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ↾t crest 15037   Topctop 19688  TopOnctopon 19689   clsccl 19813   Conccon 20206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-con 20207
This theorem is referenced by:  concompcld  20229
  Copyright terms: Public domain W3C validator