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Theorem clscon 20443
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clscon |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con )
Proof of Theorem clscon
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1046 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> ( J ↾t A ) e. Con )
2 simpll1 1044 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3 simpll2 1045 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ X )
4 simplrl 768 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> x e. J )
5 simplrr 769 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> y e. J )
6 simprl1 1050 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) )
7 n0 3771 . . . . . . . . 9 |- ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
86, 7sylib 199 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> E. z z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
92adantr 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
10 topontop 19939 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
123adantr 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
13 toponuni 19940 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> X = U. J )
1512, 14sseqtrd 3500 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ U. J )
16 inss2 3683 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` A )
17 simpr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
1816, 17sseldi 3462 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
194adantr 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> x e. J )
20 inss1 3682 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ x
2120, 17sseldi 3462 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. x )
22 eqid 2422 . . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
2322clsndisj 20089 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( x e. J /\ z e. x ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
2411, 15, 18, 19, 21, 23syl32anc 1272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
258, 24exlimddv 1774 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i A ) =/= (/) )
26 simprl2 1051 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) )
27 n0 3771 . . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) <-> E. z z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
2826, 27sylib 199 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> E. z z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
292adantr 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3029, 10syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
313adantr 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
3229, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> X = U. J )
3331, 32sseqtrd 3500 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ U. J )
34 inss2 3683 . . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` A )
35 simpr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
3634, 35sseldi 3462 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
375adantr 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> y e. J )
38 inss1 3682 . . . . . . . . . 10 |- ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ y
3938, 35sseldi 3462 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> z e. y )
4022clsndisj 20089 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ U. J /\ z e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( y e. J /\ z e. y ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
4130, 33, 36, 37, 39, 40syl32anc 1272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) /\ z e. ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
4228, 41exlimddv 1774 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
43 simprl3 1052 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) )
442, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> J e. Top )
452, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> X = U. J )
463, 45sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ U. J )
4722sscls 20069 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> A C_ ( ( cls ` J ) ` A ) )
4844, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ ( ( cls ` J ) ` A ) )
4948sscond 3602 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) C_ ( X \ A ) )
5043, 49sstrd 3474 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( X \ A ) )
51 ssv 3484 . . . . . . . . . 10 |- X C_ _V
52 ssdif 3600 . . . . . . . . . 10 |- ( X C_ _V -> ( X \ A ) C_ ( _V \ A ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( X \ A ) C_ ( _V \ A )
5450, 53syl6ss 3476 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ ( _V \ A ) )
55 disj2 3842 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) i^i A ) = (/) <-> ( x i^i y ) C_ ( _V \ A ) )
5654, 55sylibr 215 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( ( x i^i y ) i^i A ) = (/) )
57 simprr 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) )
5848, 57sstrd 3474 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> A C_ ( x u. y ) )
592, 3, 4, 5, 25, 42, 56, 58nconsubb 20436 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) -> -. ( J ↾t A ) e. Con )
6059expr 618 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) -> -. ( J ↾t A ) e. Con ) )
611, 60mt2d 120 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) )
6261ex 435 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) )
6362ralrimivva 2843 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) )
64 simp1 1005 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> J e. (TopOn ` X ) )
6513sseq2d 3492 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A C_ X <-> A C_ U. J ) )
6665biimpa 486 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> A C_ U. J )
6722clsss3 20072 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
6810, 67sylan 473 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
6966, 68syldan 472 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ U. J )
7013adantr 466 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> X = U. J )
7169, 70sseqtr4d 3501 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
72713adant3 1025 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
73 connsub 20434 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) )
7464, 72, 73syl2anc 665 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con <-> A. x e. J A. y e. J ( ( ( x i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( y i^i ( ( cls ` J ) ` A ) ) =/= (/) /\ ( x i^i y ) C_ ( X \ ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> -. ( ( cls ` J ) ` A ) C_ ( x u. y ) ) ) )
7563, 74mpbird 235 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X /\ ( J ↾t A ) e. Con ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` A ) ) e. Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   _Vcvv 3080   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   U.cuni 4219   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ↾t crest 15318   Topctop 19915  TopOnctopon 19916   clsccl 20031   Conccon 20424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584  df-fi 7934  df-rest 15320  df-topgen 15341  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-con 20425
This theorem is referenced by:  concompcld  20447
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