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Theorem clscon 19056
Description: The closure of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
clscon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  A
) )  e.  Con )

Proof of Theorem clscon
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll3 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) ) )  ->  ( Jt  A )  e.  Con )
2 simpll1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3 simpll2 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  X )
4 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  x  e.  J )
5 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
y  e.  J )
6 simprl1 1033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/) )
7 n0 3667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
86, 7sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
92adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
10 topontop 18553 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  Top )
123adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_  X )
13 toponuni 18554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
149, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  X  =  U. J )
1512, 14sseqtrd 3413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_ 
U. J )
16 inss2 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  (
( cls `  J
) `  A )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
1816, 17sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
194adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  x  e.  J )
20 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  x
2120, 17sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  x )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
2322clsndisj 18701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  z  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( x  e.  J  /\  z  e.  x
) )  ->  (
x  i^i  A )  =/=  (/) )
2411, 15, 18, 19, 21, 23syl32anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  (
x  i^i  A )  =/=  (/) )
258, 24exlimddv 1692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  =/=  (/) )
26 simprl2 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/) )
27 n0 3667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  ( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
2826, 27sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  E. z  z  e.  ( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
292adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3029, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  J  e.  Top )
313adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_  X )
3229, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  X  =  U. J )
3331, 32sseqtrd 3413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  A  C_ 
U. J )
34 inss2 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  (
( cls `  J
) `  A )
35 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( y  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
) )
3634, 35sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
375adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  y  e.  J )
38 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  C_  y
3938, 35sseldi 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  z  e.  y )
4022clsndisj 18701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  z  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( y  e.  J  /\  z  e.  y
) )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
4130, 33, 36, 37, 39, 40syl32anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  /\  z  e.  ( y  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
) )  ->  (
y  i^i  A )  =/=  (/) )
4228, 41exlimddv 1692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( y  i^i  A
)  =/=  (/) )
43 simprl3 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  C_  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  A )
) )
442, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  J  e.  Top )
452, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  X  =  U. J )
463, 45sseqtrd 3413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  U. J )
4722sscls 18682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  A  C_  (
( cls `  J
) `  A )
)
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  ( ( cls `  J ) `  A
) )
4948sscond 3514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
)  C_  ( X  \  A ) )
5043, 49sstrd 3387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  C_  ( X  \  A ) )
51 ssv 3397 . . . . . . . . . 10  |-  X  C_  _V
52 ssdif 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( X 
\  A )  C_  ( _V  \  A ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( X 
\  A )  C_  ( _V  \  A )
5450, 53syl6ss 3389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( x  i^i  y
)  C_  ( _V  \  A ) )
55 disj2 3747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  i^i  A )  =  (/)  <->  ( x  i^i  y )  C_  ( _V  \  A ) )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( ( x  i^i  y )  i^i  A
)  =  (/) )
57 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) )
5848, 57sstrd 3387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  A  C_  ( x  u.  y ) )
592, 3, 4, 5, 25, 42, 56, 58nconsubb 19049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )  ->  -.  ( Jt  A )  e.  Con )
6059expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) ) )  ->  ( ( ( cls `  J ) `
 A )  C_  ( x  u.  y
)  ->  -.  ( Jt  A )  e.  Con ) )
611, 60mt2d 117 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  ( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J ) `  A )  C_  (
x  u.  y ) )
6261ex 434 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )
6362ralrimivva 2829 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( ( x  i^i  ( ( cls `  J ) `  A
) )  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) )
64 simp1 988 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6513sseq2d 3405 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A  C_  X  <->  A  C_  U. J
) )
6665biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_ 
U. J )
6722clsss3 18685 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  A
)  C_  U. J )
6810, 67sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_ 
U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_ 
U. J )
6966, 68syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_ 
U. J )
7013adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  =  U. J )
7169, 70sseqtr4d 3414 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
72713adant3 1008 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
73 connsub 19047 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )  ->  (
( Jt  ( ( cls `  J ) `  A
) )  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( ( x  i^i  ( ( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) ) )
7464, 72, 73syl2anc 661 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 A ) )  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
( x  i^i  (
( cls `  J
) `  A )
)  =/=  (/)  /\  (
y  i^i  ( ( cls `  J ) `  A ) )  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  C_  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  A
) ) )  ->  -.  ( ( cls `  J
) `  A )  C_  ( x  u.  y
) ) ) )
7563, 74mpbird 232 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  ( Jt  A )  e.  Con )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  A
) )  e.  Con )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   U.cuni 4112   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ↾t crest 14380   Topctop 18520  TopOnctopon 18521   clsccl 18644   Conccon 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-con 19038
This theorem is referenced by:  concompcld  19060
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