MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clscld Structured version   Unicode version

Theorem clscld 20004
Description: The closure of a subset of a topology's underlying set is closed. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clscld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem clscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clsval 19994 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
31topcld 19992 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
43anim1i 570 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  X ) )
5 sseq2 3429 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( S  C_  x  <->  S  C_  X
) )
65elrab 3171 . . . . 5  |-  ( X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  X
) )
74, 6sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
8 ne0i 3710 . . . 4  |-  ( X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  ->  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  =/=  (/) )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x }  =/=  (/) )
10 ssrab2 3489 . . 3  |-  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  ( Clsd `  J )
11 intcld 19997 . . 3  |-  ( ( { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  =/=  (/)  /\  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  |^| { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  e.  ( Clsd `  J
) )
129, 10, 11sylancl 666 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  e.  ( Clsd `  J
) )
132, 12eqeltrd 2506 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   {crab 2718    C_ wss 3379   (/)c0 3704   U.cuni 4162   |^|cint 4198   ` cfv 5544   Topctop 19859   Clsdccld 19973   clsccl 19975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-top 19863  df-cld 19976  df-cls 19978
This theorem is referenced by:  clsf  20005  clsss3  20016  cmntrcldOLD  20021  iscld3  20022  clsidm  20025  restcls  20139  cncls2i  20228  nrmsep  20315  lpcls  20322  regsep2  20334  hauscmplem  20363  hausllycmp  20451  txcls  20561  ptclsg  20572  regr1lem  20696  kqreglem1  20698  kqreglem2  20699  kqnrmlem1  20700  kqnrmlem2  20701  fclscmpi  20986  tgptsmscld  21107  cnllycmp  21926  clsocv  22163  cmpcmet  22229  cncmet  22232  limcnlp  22775  clsun  30933  cldregopn  30936  heibor1lem  32048
  Copyright terms: Public domain W3C validator