MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clscld Structured version   Unicode version

Theorem clscld 18651
Description: The closure of a subset of a topology's underlying set is closed. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clscld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem clscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clsval 18641 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
31topcld 18639 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
43anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  X ) )
5 sseq2 3378 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( S  C_  x  <->  S  C_  X
) )
65elrab 3117 . . . . 5  |-  ( X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  X
) )
74, 6sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
8 ne0i 3643 . . . 4  |-  ( X  e.  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  ->  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  =/=  (/) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x }  =/=  (/) )
10 ssrab2 3437 . . 3  |-  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  ( Clsd `  J )
11 intcld 18644 . . 3  |-  ( ( { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  =/=  (/)  /\  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  ( Clsd `  J ) )  ->  |^| { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  e.  ( Clsd `  J
) )
129, 10, 11sylancl 662 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }  e.  ( Clsd `  J
) )
132, 12eqeltrd 2517 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   {crab 2719    C_ wss 3328   (/)c0 3637   U.cuni 4091   |^|cint 4128   ` cfv 5418   Topctop 18498   Clsdccld 18620   clsccl 18622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-top 18503  df-cld 18623  df-cls 18625
This theorem is referenced by:  clsf  18652  clsss3  18663  cmntrcld  18667  iscld3  18668  clsidm  18671  restcls  18785  cncls2i  18874  nrmsep  18961  lpcls  18968  regsep2  18980  hauscmplem  19009  hausllycmp  19098  txcls  19177  ptclsg  19188  regr1lem  19312  kqreglem1  19314  kqreglem2  19315  kqnrmlem1  19316  kqnrmlem2  19317  fclscmpi  19602  tgptsmscld  19725  cnllycmp  20528  clsocv  20762  cmpcmet  20828  cncmet  20833  limcnlp  21353  clsun  28523  cldregopn  28526  heibor1lem  28708
  Copyright terms: Public domain W3C validator