MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub Structured version   Unicode version

Theorem clmsub 21308
Description: Subtraction in the scalar ring of a complex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmsub.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
clmsub  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )

Proof of Theorem clmsub
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 clmsub.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2clmsubrg 21294 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
4 subrgsubg 17211 . . . 4  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  e.  (SubGrp ` fld ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubGrp ` fld ) )
6 cnfldsub 18210 . . . 4  |-  -  =  ( -g ` fld )
7 eqid 2460 . . . 4  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
8 eqid 2460 . . . 4  |-  ( -g `  (flds  K ) )  =  (
-g `  (flds  K ) )
96, 7, 8subgsub 16001 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K
)  ->  ( A  -  B )  =  ( A ( -g `  (flds  K )
) B ) )
105, 9syl3an1 1256 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  (flds  K ) ) B ) )
111, 2clmsca 21293 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  F  =  (flds  K ) )
1211fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( -g `  F
)  =  ( -g `  (flds  K ) ) )
13123ad2ant1 1012 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( -g `  F )  =  ( -g `  (flds  K )
) )
1413oveqd 6292 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( A ( -g `  (flds  K ) ) B ) )
1510, 14eqtr4d 2504 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    - cmin 9794   Basecbs 14479   ↾s cress 14480  Scalarcsca 14547   -gcsg 15719  SubGrpcsubg 15983  SubRingcsubrg 17201  ℂfldccnfld 18184  CModcclm 21290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-rng 16981  df-cring 16982  df-subrg 17203  df-cnfld 18185  df-clm 21291
This theorem is referenced by:  clmsubdir  21322  cphsubdir  21382  cphsubdi  21383  cph2subdi  21384  ipcau2  21405  tchcphlem1  21406  ttgcontlem1  23857
  Copyright terms: Public domain W3C validator