MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub Structured version   Unicode version

Theorem clmsub 21872
Description: Subtraction in the scalar ring of a complex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmsub.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
clmsub  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )

Proof of Theorem clmsub
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 clmsub.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2clmsubrg 21858 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
4 subrgsubg 17755 . . . 4  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  e.  (SubGrp ` fld ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubGrp ` fld ) )
6 cnfldsub 18766 . . . 4  |-  -  =  ( -g ` fld )
7 eqid 2402 . . . 4  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
8 eqid 2402 . . . 4  |-  ( -g `  (flds  K ) )  =  (
-g `  (flds  K ) )
96, 7, 8subgsub 16537 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K
)  ->  ( A  -  B )  =  ( A ( -g `  (flds  K )
) B ) )
105, 9syl3an1 1263 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  (flds  K ) ) B ) )
111, 2clmsca 21857 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  F  =  (flds  K ) )
1211fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( -g `  F
)  =  ( -g `  (flds  K ) ) )
13123ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( -g `  F )  =  ( -g `  (flds  K )
) )
1413oveqd 6295 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( A ( -g `  (flds  K ) ) B ) )
1510, 14eqtr4d 2446 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    - cmin 9841   Basecbs 14841   ↾s cress 14842  Scalarcsca 14912   -gcsg 16379  SubGrpcsubg 16519  SubRingcsubrg 17745  ℂfldccnfld 18740  CModcclm 21854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cmn 17124  df-mgp 17462  df-ring 17520  df-cring 17521  df-subrg 17747  df-cnfld 18741  df-clm 21855
This theorem is referenced by:  clmsubdir  21886  cphsubdir  21946  cphsubdi  21947  cph2subdi  21948  ipcau2  21969  tchcphlem1  21970  ttgcontlem1  24605
  Copyright terms: Public domain W3C validator