MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub Structured version   Unicode version

Theorem clmsub 20770
Description: Subtraction in the scalar ring of a complex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmsub.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
clmsub  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )

Proof of Theorem clmsub
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 clmsub.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2clmsubrg 20756 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
4 subrgsubg 16979 . . . 4  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  e.  (SubGrp ` fld ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubGrp ` fld ) )
6 cnfldsub 17955 . . . 4  |-  -  =  ( -g ` fld )
7 eqid 2451 . . . 4  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( -g `  (flds  K ) )  =  (
-g `  (flds  K ) )
96, 7, 8subgsub 15797 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K
)  ->  ( A  -  B )  =  ( A ( -g `  (flds  K )
) B ) )
105, 9syl3an1 1252 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  (flds  K ) ) B ) )
111, 2clmsca 20755 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  F  =  (flds  K ) )
1211fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( W  e. CMod  ->  ( -g `  F
)  =  ( -g `  (flds  K ) ) )
13123ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( -g `  F )  =  ( -g `  (flds  K )
) )
1413oveqd 6209 . 2  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( A ( -g `  (flds  K ) ) B ) )
1510, 14eqtr4d 2495 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A  -  B )  =  ( A (
-g `  F ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    - cmin 9698   Basecbs 14278   ↾s cress 14279  Scalarcsca 14345   -gcsg 15517  SubGrpcsubg 15779  SubRingcsubrg 16969  ℂfldccnfld 17929  CModcclm 20752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-subg 15782  df-cmn 16385  df-mgp 16699  df-rng 16755  df-cring 16756  df-subrg 16971  df-cnfld 17930  df-clm 20753
This theorem is referenced by:  clmsubdir  20784  cphsubdir  20844  cphsubdi  20845  cph2subdi  20846  ipcau2  20867  tchcphlem1  20868  ttgcontlem1  23268
  Copyright terms: Public domain W3C validator