Theorem clmlmod 19045

Description: A complex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	|- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2404	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3	1, 2	isclm 19042	. 2 |- ( W e. CMod <-> ( W e. LMod /\ (Scalar ` W ) = (ℂfld ↾s ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` W ) ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
4	3	simp1bi 972	1 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425  Scalarcsca 13487  SubRingcsubrg 15819   LModclmod 15905  ℂ_fldccnfld 16658  CModcclm 19040

This theorem is referenced by:  clmgrp  19046  clmabl  19047  clmrng  19048  clmfgrp  19049  clmvsass  19065  clmvsdir  19066  clmvs1  19067  clm0vs  19068  clmvneg1  19069  clmvsneg  19070  clmsubdir  19072  zlmclm  19073

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-clm 19041