Theorem clmlmod 21302

Description: A complex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	|- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2467	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3	1, 2	isclm 21299	. 2 |- ( W e. CMod <-> ( W e. LMod /\ (Scalar ` W ) = (ℂfld ↾s ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` W ) ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
4	3	simp1bi 1011	1 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   ↾_s cress 14487  Scalarcsca 14554  SubRingcsubrg 17208   LModclmod 17295  ℂ_fldccnfld 18191  CModcclm 21297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5549  df-fv 5594  df-ov 6285  df-clm 21298

This theorem is referenced by:  clmgrp  21303  clmabl  21304  clmrng  21305  clmfgrp  21306  clmvsass  21322  clmvsdir  21323  clmvs1  21324  clm0vs  21325  clmvneg1  21326  clmvsneg  21327  clmsubdir  21329  zlmclm  21330  ttgbtwnid  23863  ttgcontlem1  23864