Theorem clmlmod 20644

Description: A complex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	|- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2443	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3	1, 2	isclm 20641	. 2 |- ( W e. CMod <-> ( W e. LMod /\ (Scalar ` W ) = (ℂfld ↾s ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` W ) ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
4	3	simp1bi 1003	1 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   ↾_s cress 14180  Scalarcsca 14246  SubRingcsubrg 16866   LModclmod 16953  ℂ_fldccnfld 17823  CModcclm 20639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4426

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-iota 5386  df-fv 5431  df-ov 6099  df-clm 20640

This theorem is referenced by:  clmgrp  20645  clmabl  20646  clmrng  20647  clmfgrp  20648  clmvsass  20664  clmvsdir  20665  clmvs1  20666  clm0vs  20667  clmvneg1  20668  clmvsneg  20669  clmsubdir  20671  zlmclm  20672  ttgbtwnid  23135  ttgcontlem1  23136