Theorem clmlmod 21751

Description: A complex module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
clmlmod	|- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Proof of Theorem clmlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2402	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
2		eqid 2402	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
3	1, 2	isclm 21748	. 2 |- ( W e. CMod <-> ( W e. LMod /\ (Scalar ` W ) = (ℂfld ↾s ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` W ) ) e. (SubRing ` ℂfld ) ) )
4	3	simp1bi 1012	1 |- ( W e. CMod -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   ↾_s cress 14734  Scalarcsca 14804  SubRingcsubrg 17637   LModclmod 17724  ℂ_fldccnfld 18632  CModcclm 21746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-nul 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-iota 5489  df-fv 5533  df-ov 6237  df-clm 21747

This theorem is referenced by:  clmgrp  21752  clmabl  21753  clmring  21754  clmfgrp  21755  clmvsass  21771  clmvsdir  21772  clmvs1  21773  clm0vs  21774  clmvneg1  21775  clmvsneg  21776  clmsubdir  21778  zlmclm  21779  ttgbtwnid  24485  ttgcontlem1  24486