MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmacl Structured version   Unicode version

Theorem clmacl 21877
Description: Closure of ring addition for a complex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
clmsub.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
clmacl  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X  +  Y )  e.  K )

Proof of Theorem clmacl
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 clmsub.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  F
)
31, 2clmsubrg 21860 . 2  |-  ( W  e. CMod  ->  K  e.  (SubRing ` fld ) )
4 cnfldadd 18747 . . 3  |-  +  =  ( +g  ` fld )
54subrgacl 17762 . 2  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X  +  Y )  e.  K )
63, 5syl3an1 1265 1  |-  ( ( W  e. CMod  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  K )  ->  ( X  +  Y )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    + caddc 9527   Basecbs 14843  Scalarcsca 14914  SubRingcsubrg 17747  ℂfldccnfld 18742  CModcclm 21856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-addf 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-subg 16524  df-ring 17522  df-subrg 17749  df-cnfld 18743  df-clm 21857
This theorem is referenced by:  cph2subdi  21950  ipcau2  21971  tchcphlem1  21972  nmparlem  21976
  Copyright terms: Public domain W3C validator