Theorem clm4lei 8341

Description: Express the predicate F converges to A, with a non-strict ordering requirement.

Hypotheses

Ref	Expression
clm1.1	|- M e. ZZ
clm1.2	|- (ZZ>=` M) C_ Z
clm1.3	|- Z C_ ZZ
clm1.4	|- N e. ZZ
clm1.5	|- (ZZ>=` N) C_ W
clm1.6	|- W C_ ZZ
clm2.7	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
clm4lei	|- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))))

Distinct variable groups:   j,k,x,A   j,F,k,x   j,M,k   k,N   j,W,k,x   j,Z,k,x

Proof of Theorem clm4lei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm1.1	. . . . 5 |- M e. ZZ
2		clm1.2	. . . . 5 |- (ZZ>=` M) C_ Z
3		clm1.3	. . . . 5 |- Z C_ ZZ
4		clm1.4	. . . . 5 |- N e. ZZ
5		clm1.5	. . . . 5 |- (ZZ>=` N) C_ W
6		clm1.6	. . . . 5 |- W C_ ZZ
7		clm2.7	. . . . 5 |- F e. _V
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	clm4i 8340	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
9		inss2 2813	. . . . 5 |- (Z i^i W) C_ W
10		ssralv 2672	. . . . 5 |- ((Z i^i W) C_ W -> (A.k e. W (F` k) e. CC -> A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.k e. W (F` k) e. CC -> A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC)
12	8, 11	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
13		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> A.k A e. CC)
14		hbra1 2147	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. W (F` k) e. CC -> A.kA.k e. W (F` k) e. CC)
15	13, 14	hban 1356	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> A.k(A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC))
16		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> A.k x e. RR)
17	15, 16	hban 1356	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) -> A.k((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR))
18		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` k) e. CC /\ A e. CC) -> ((F` k) - A) e. CC)
19	18	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ (F` k) e. CC) -> ((F` k) - A) e. CC)
20		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` k) - A) e. CC -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ (F` k) e. CC) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
22		ra4 2155	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.k e. W (F` k) e. CC -> (k e. W -> (F` k) e. CC))
23	22	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A.k e. W (F` k) e. CC /\ k e. W) -> (F` k) e. CC)
24	21, 23	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (A.k e. W (F` k) e. CC /\ k e. W)) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
25	24	anassrs 489	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ k e. W) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
26	25	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) /\ k e. W) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
27		simplr 449	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) /\ k e. W) -> x e. RR)
28		ltle 6690	. . . . . . . . 9 |- (((abs` ((F` k) - A)) e. RR /\ x e. RR) -> ((abs` ((F` k) - A)) < x -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))
29	26, 27, 28	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- ((((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) /\ k e. W) -> ((abs` ((F` k) - A)) < x -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))
30	29	imim2d 28	. . . . . . 7 |- ((((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) /\ k e. W) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)))
31	17, 30	ralimdaa 2170	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) -> (A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)))
32	31	reximdv 2202	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) -> (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)))
33	32	imim2d 28	. . . 4 |- (((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ x e. RR) -> ((0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))))
34	33	ralimdvaa 2171	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))))
35	12, 34	sylbid 220	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (F ~~> A -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))))
36		rehalfcl 7220	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR -> (y / 2) e. RR)
37		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y / 2) -> (0 < x <-> 0 < (y / 2)))
38		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (y / 2) -> ((abs` ((F` k) - A)) <_ x <-> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)))
39	38	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y / 2) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x) <-> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2))))
40	39	rexralbidv 2142	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (y / 2) -> (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x) <-> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2))))
41	37, 40	imbi12d 688	. . . . . . . . . 10 |- (x = (y / 2) -> ((0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) <-> (0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)))))
42	41	rcla4v 2376	. . . . . . . . 9 |- ((y / 2) e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)))))
43	36, 42	syl 12	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)))))
44	43	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)))))
45		halfpos2 7223	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> (0 < y <-> 0 < (y / 2)))
46	45	biimpa 460	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> 0 < (y / 2))
47	46	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> 0 < (y / 2))
48		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> A.k(y e. RR /\ 0 < y))
49	48, 15	hban 1356	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> A.k((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)))
50		halfpos 7222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. RR -> (0 < y <-> (y / 2) < y))
51	50	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (y / 2) < y)
52	51	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ (F` k) e. CC)) -> (y / 2) < y)
53		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((abs` ((F` k) - A)) e. RR /\ (y / 2) e. RR /\ y e. RR) -> (((abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2) /\ (y / 2) < y) -> (abs` ((F` k) - A)) < y))
54	53	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((abs` ((F` k) - A)) e. RR /\ ((y / 2) e. RR /\ y e. RR)) -> (((abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2) /\ (y / 2) < y) -> (abs` ((F` k) - A)) < y))
55	36	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> (y / 2) e. RR)
56		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> y e. RR)
57	55, 56	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. RR /\ 0 < y) -> ((y / 2) e. RR /\ y e. RR))
58	54, 57	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((abs` ((F` k) - A)) e. RR /\ (y e. RR /\ 0 < y)) -> (((abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2) /\ (y / 2) < y) -> (abs` ((F` k) - A)) < y))
59	58	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR) -> (((abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2) /\ (y / 2) < y) -> (abs` ((F` k) - A)) < y))
60	59, 21	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ (F` k) e. CC)) -> (((abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2) /\ (y / 2) < y) -> (abs` ((F` k) - A)) < y))
61	52, 60	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ (F` k) e. CC)) -> ((abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2) -> (abs` ((F` k) - A)) < y))
62	61	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ (F` k) e. CC)) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)) -> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
63	23	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ (A.k e. W (F` k) e. CC /\ k e. W)) -> (A e. CC /\ (F` k) e. CC))
64	63	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ k e. W) -> (A e. CC /\ (F` k) e. CC))
65	62, 64	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) /\ k e. W)) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)) -> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
66	65	anassrs 489	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) /\ k e. W) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)) -> (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
67	49, 66	ralimdaa 2170	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> (A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)) -> A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
68	67	reximdv 2202	. . . . . . . . 9 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> (E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
69	68	imim2d 28	. . . . . . . 8 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> ((0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2))) -> (0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y))))
70	47, 69	mpid 58	. . . . . . 7 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> ((0 < (y / 2) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ (y / 2))) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
71	44, 70	syld 30	. . . . . 6 |- (((y e. RR /\ 0 < y) /\ (A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC)) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))
72	71	exp31 407	. . . . 5 |- (y e. RR -> (0 < y -> ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))))
73	72	com4t 44	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> (y e. RR -> (0 < y -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y)))))
74	73	r19.21adv 2181	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y))))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	clm4i 8340	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y))))
76	75, 11	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.y e. RR (0 < y -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < y))))
77	74, 76	sylibrd 221	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x)) -> F ~~> A))
78	35, 77	impbid 574	1 |- ((A e. CC /\ A.k e. W (F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) <_ x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain