HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem clm4i 8340
Description: Express the predicate F converges to A.
Hypotheses
Ref Expression
clm1.1 |- M e. ZZ
clm1.2 |- (ZZ>=` M) C_ Z
clm1.3 |- Z C_ ZZ
clm1.4 |- N e. ZZ
clm1.5 |- (ZZ>=` N) C_ W
clm1.6 |- W C_ ZZ
clm2.7 |- F e. _V
Assertion
Ref Expression
clm4i |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
Distinct variable groups:   j,k,x,A   j,F,k,x   j,M,k   k,N   j,W,k,x   j,Z,k,x
Proof of Theorem clm4i
StepHypRef Expression
1 clm1.1 . . 3 |- M e. ZZ
2 clm1.2 . . 3 |- (ZZ>=` M) C_ Z
3 clm1.3 . . 3 |- Z C_ ZZ
4 clm1.4 . . 3 |- N e. ZZ
5 clm1.5 . . 3 |- (ZZ>=` N) C_ W
6 clm1.6 . . 3 |- W C_ ZZ
7 clm2.7 . . 3 |- F e. _V
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7clm3i 8339 . 2 |- ((A e. CC /\ E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC)) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
9 breq1 3341 . . . . . 6 |- (m = M -> (m <_ k <-> M <_ k))
109imbi1d 675 . . . . 5 |- (m = M -> ((m <_ k -> (F` k) e. CC) <-> (M <_ k -> (F` k) e. CC)))
1110ralbidv 2123 . . . 4 |- (m = M -> (A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC) <-> A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC)))
1211rcla4ev 2381 . . 3 |- ((M e. Z /\ A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC)) -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC))
13 uzid 7596 . . . . 5 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>=` M))
141, 13ax-mp 7 . . . 4 |- M e. (ZZ>=` M)
152, 14sselii 2618 . . 3 |- M e. Z
16 elin 2786 . . . . . . . 8 |- (k e. (Z i^i W) <-> (k e. Z /\ k e. W))
17 ancom 482 . . . . . . . 8 |- ((k e. Z /\ k e. W) <-> (k e. W /\ k e. Z))
1816, 17bitri 190 . . . . . . 7 |- (k e. (Z i^i W) <-> (k e. W /\ k e. Z))
1918imbi1i 203 . . . . . 6 |- ((k e. (Z i^i W) -> (F` k) e. CC) <-> ((k e. W /\ k e. Z) -> (F` k) e. CC))
20 impexp 374 . . . . . 6 |- (((k e. W /\ k e. Z) -> (F` k) e. CC) <-> (k e. W -> (k e. Z -> (F` k) e. CC)))
2119, 20bitri 190 . . . . 5 |- ((k e. (Z i^i W) -> (F` k) e. CC) <-> (k e. W -> (k e. Z -> (F` k) e. CC)))
2221ralbii2 2131 . . . 4 |- (A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC <-> A.k e. W (k e. Z -> (F` k) e. CC))
236sseli 2617 . . . . . . 7 |- (k e. W -> k e. ZZ)
241eluz1i 7591 . . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) <-> (k e. ZZ /\ M <_ k))
252sseli 2617 . . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> k e. Z)
2624, 25sylbir 218 . . . . . . . 8 |- ((k e. ZZ /\ M <_ k) -> k e. Z)
2726ex 402 . . . . . . 7 |- (k e. ZZ -> (M <_ k -> k e. Z))
2823, 27syl 12 . . . . . 6 |- (k e. W -> (M <_ k -> k e. Z))
2928imim1d 33 . . . . 5 |- (k e. W -> ((k e. Z -> (F` k) e. CC) -> (M <_ k -> (F` k) e. CC)))
3029ralimia 2166 . . . 4 |- (A.k e. W (k e. Z -> (F` k) e. CC) -> A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC))
3122, 30sylbi 216 . . 3 |- (A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC -> A.k e. W (M <_ k -> (F` k) e. CC))
3212, 15, 31sylancr 526 . 2 |- (A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC -> E.m e. Z A.k e. W (m <_ k -> (F` k) e. CC))
338, 32sylan2 500 1 |- ((A e. CC /\ A.k e. (Z i^i W)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. W (j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234
This theorem is referenced by:  clm4lei 8341  clm4fi 8342  clm0i 8343  clmnnsi 8344  clm4a 8350  climfnn 8352  climconsti 8354  2climnn 8362  2climnn0 8363  occllem6 10811  projlem25 10843  projlem26 10844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587  df-clim 8235
Copyright terms: Public domain