Theorem cljo 14534

Description: Closure of join.

Hypothesis

Ref	Expression
jop1	|- X = dom dom J

Assertion

Ref	Expression
cljo	|- ((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) -> ((P e. X /\ Q e. X) -> (PJQ) e. X))

Proof of Theorem cljo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jop1	. . . . . 6 |- X = dom dom J
2	1	jop 14532	. . . . 5 |- ((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) -> J:(X X. X)-->X)
3	2	adantr 425	. . . 4 |- (((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> J:(X X. X)-->X)
4		simprl 450	. . . 4 |- (((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> P e. X)
5		simprr 451	. . . 4 |- (((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> Q e. X)
6	3, 4, 5	3jca 1050	. . 3 |- (((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) /\ (P e. X /\ Q e. X)) -> (J:(X X. X)-->X /\ P e. X /\ Q e. X))
7	6	ex 402	. 2 |- ((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) -> ((P e. X /\ Q e. X) -> (J:(X X. X)-->X /\ P e. X /\ Q e. X)))
8		foprrn 4965	. 2 |- ((J:(X X. X)-->X /\ P e. X /\ Q e. X) -> (PJQ) e. X)
9	7, 8	syl6 25	1 |- ((J e. A /\ M e. B /\ <.J, M>. e. LatAlg) -> ((P e. X /\ Q e. X) -> (PJQ) e. X))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  (class class class)co 4884  LatAlgclatalg 14529

This theorem is referenced by:  jidd 14540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-latalg 14530

Copyright terms: Public domain