Theorem clindistop2 14963

Description: The closed sets of an indiscrete topology.

Assertion

Ref	Expression
clindistop2	|- (A e. B -> (Clsd` {(/), A}) = {(/), A})

Proof of Theorem clindistop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (A e. B -> A e. _V)
2		preq2 3099	. . . . 5 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> {(/), A} = {(/), if(A e. _V, A, (/))})
3	2	fveq2d 4685	. . . 4 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> (Clsd` {(/), A}) = (Clsd` {(/), if(A e. _V, A, (/))}))
4	3, 2	eqeq12d 1899	. . 3 |- (A = if(A e. _V, A, (/)) -> ((Clsd` {(/), A}) = {(/), A} <-> (Clsd` {(/), if(A e. _V, A, (/))}) = {(/), if(A e. _V, A, (/))}))
5		0ex 3446	. . . . 5 |- (/) e. _V
6	5	elimel 3025	. . . 4 |- if(A e. _V, A, (/)) e. _V
7	6	clindistop 14962	. . 3 |- (Clsd` {(/), if(A e. _V, A, (/))}) = {(/), if(A e. _V, A, (/))}
8	4, 7	dedth 3011	. 2 |- (A e. _V -> (Clsd` {(/), A}) = {(/), A})
9	1, 8	syl 12	1 |- (A e. B -> (Clsd` {(/), A}) = {(/), A})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  {cpr 3045  ` cfv 3998  Clsdccld 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939

Copyright terms: Public domain