Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Structured version   Unicode version

Theorem climuzcnv 28540
Description: Utility lemma to convert between  m  <_  k and  k  e.  ( ZZ>= `  m ) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Distinct variable group:    k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11118 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 uztrn 11098 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 elnnuz 11118 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
53, 4sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
65expcom 435 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  k  e.  NN ) )
7 eluzle 11094 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  m  <_  k )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  <_  k ) )
96, 8jcad 533 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
k  e.  NN  /\  m  <_  k ) ) )
10 nnz 10886 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
11 nnz 10886 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
12 eluz2 11088 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_ 
k ) )
1312biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1411, 13syl3an1 1261 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1510, 14syl3an2 1262 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
16153expib 1199 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
179, 16impbid 191 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  ( k  e.  NN  /\  m  <_ 
k ) ) )
1817imbi1d 317 . 2  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )
) )
19 impexp 446 . 2  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) )
2018, 19syl6bb 261 1  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   1c1 9493    <_ cle 9629   NNcn 10536   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-z 10865  df-uz 11083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator