Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Structured version   Unicode version

Theorem climuzcnv 30103
Description: Utility lemma to convert between  m  <_  k and  k  e.  ( ZZ>= `  m ) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Distinct variable group:    k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 11195 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 uztrn 11175 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylan2b 477 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 elnnuz 11195 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
53, 4sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
65expcom 436 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  k  e.  NN ) )
7 eluzle 11171 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  m  <_  k )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  <_  k ) )
96, 8jcad 535 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
k  e.  NN  /\  m  <_  k ) ) )
10 nnz 10959 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
11 nnz 10959 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
12 eluz2 11165 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_ 
k ) )
1312biimpri 209 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1411, 13syl3an1 1297 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1510, 14syl3an2 1298 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
16153expib 1208 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
179, 16impbid 193 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  ( k  e.  NN  /\  m  <_ 
k ) ) )
1817imbi1d 318 . 2  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )
) )
19 impexp 447 . 2  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) )
2018, 19syl6bb 264 1  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   1c1 9539    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator