Theorem climunii 8358

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit.

Hypotheses

Ref	Expression
climuni.1	|- A e. _V
climuni.2	|- B e. _V
climunii.3	|- (F ~~> A /\ F ~~> B)

Assertion

Ref	Expression
climunii	|- A = B

Proof of Theorem climunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		z2ge 7400	. . . . 5 |- ((k e. ZZ /\ m e. ZZ) -> E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
2	1	rgen2a 2160	. . . 4 |- A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j)
3		climuni.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
4		climunii.3	. . . . . . . . . 10 |- (F ~~> A /\ F ~~> B)
5	4	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- F ~~> A
6		climcl 8238	. . . . . . . . 9 |- ((A e. _V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
7	3, 5, 6	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- A e. CC
8		climuni.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
9	4	simpri 351	. . . . . . . . 9 |- F ~~> B
10		climcl 8238	. . . . . . . . 9 |- ((B e. _V /\ F ~~> B) -> B e. CC)
11	8, 9, 10	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- B e. CC
12	7, 11	subcli 6523	. . . . . . 7 |- (A - B) e. CC
13	12	abscli 8090	. . . . . 6 |- (abs` (A - B)) e. RR
14		2re 7163	. . . . . 6 |- 2 e. RR
15		2pos 7173	. . . . . 6 |- 0 < 2
16	13, 14, 15	divgt0i2i 7041	. . . . 5 |- (0 < (abs` (A - B)) -> 0 < ((abs` (A - B)) / 2))
17		2ne0 7174	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
18	13, 14, 17	redivcli 6976	. . . . . . 7 |- ((abs` (A - B)) / 2) e. RR
19		0z 7355	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
20		uzssz 7599	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>=` 0) C_ ZZ
21		ssid 2634	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ ZZ
22	19, 20, 21	clmi1i 8346	. . . . . . . 8 |- (((A e. _V /\ F ~~> A) /\ (((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2))) -> E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
23	3, 5, 22	mpanl12 773	. . . . . . 7 |- ((((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2)) -> E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
24	18, 23	mpan 759	. . . . . 6 |- (0 < ((abs` (A - B)) / 2) -> E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
25	19, 20, 21	clmi1i 8346	. . . . . . . 8 |- (((B e. _V /\ F ~~> B) /\ (((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2))) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
26	8, 9, 25	mpanl12 773	. . . . . . 7 |- ((((abs` (A - B)) / 2) e. RR /\ 0 < ((abs` (A - B)) / 2)) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
27	18, 26	mpan 759	. . . . . 6 |- (0 < ((abs` (A - B)) / 2) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
28	24, 27	jca 310	. . . . 5 |- (0 < ((abs` (A - B)) / 2) -> (E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
29		r19.26 2219	. . . . . . . . 9 |- (A.j e. ZZ ((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) <-> (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
30	13	ltnri 6789	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))
31		anandi 568	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. CC /\ ((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))) <-> (((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
32		abssub 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` j) e. CC /\ A e. CC) -> (abs` ((F` j) - A)) = (abs` (A - (F` j))))
33	7, 32	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` j) e. CC -> (abs` ((F` j) - A)) = (abs` (A - (F` j))))
34	33	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` j) e. CC -> ((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) <-> (abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2)))
35	34	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` j) e. CC -> (((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) <-> ((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))))
36		abs3lem 8159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` (A - B)) e. RR)) -> (((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
37	7, 11, 36	mpanl12 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. CC /\ (abs` (A - B)) e. RR) -> (((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
38	13, 37	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` j) e. CC -> (((abs` (A - (F` j))) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
39	35, 38	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` j) e. CC -> (((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B))))
40	39	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` j) e. CC /\ ((abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2) /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B)))
41	31, 40	sylbir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2))) -> (abs` (A - B)) < (abs` (A - B)))
42	30, 41	mto 121	. . . . . . . . . . 11 |- -. (((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))
43		prth 615	. . . . . . . . . . 11 |- (((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> ((k <_ j /\ m <_ j) -> (((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2)) /\ ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
44	42, 43	mtoi 122	. . . . . . . . . 10 |- (((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> -. (k <_ j /\ m <_ j))
45	44	ralimi 2168	. . . . . . . . 9 |- (A.j e. ZZ ((k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
46	29, 45	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- ((A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
47	46	reximi 2198	. . . . . . 7 |- (E.m e. ZZ (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
48	47	reximi 2198	. . . . . 6 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> E.k e. ZZ E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j))
49		reeanv 2249	. . . . . 6 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ (A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) <-> (E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))))
50		ralnex 2113	. . . . . . . . . 10 |- (A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
51	50	rexbii 2128	. . . . . . . . 9 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> E.m e. ZZ -. E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
52		rexnal 2114	. . . . . . . . 9 |- (E.m e. ZZ -. E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
53	51, 52	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
54	53	rexbii 2128	. . . . . . 7 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> E.k e. ZZ -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
55		rexnal 2114	. . . . . . 7 |- (E.k e. ZZ -. A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
56	54, 55	bitri 190	. . . . . 6 |- (E.k e. ZZ E.m e. ZZ A.j e. ZZ -. (k <_ j /\ m <_ j) <-> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
57	48, 49, 56	3imtr3i 235	. . . . 5 |- ((E.k e. ZZ A.j e. ZZ (k <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - A)) < ((abs` (A - B)) / 2))) /\ E.m e. ZZ A.j e. ZZ (m <_ j -> ((F` j) e. CC /\ (abs` ((F` j) - B)) < ((abs` (A - B)) / 2)))) -> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
58	16, 28, 57	3syl 24	. . . 4 |- (0 < (abs` (A - B)) -> -. A.k e. ZZ A.m e. ZZ E.j e. ZZ (k <_ j /\ m <_ j))
59	2, 58	mt2 124	. . 3 |- -. 0 < (abs` (A - B))
60	12	absgt0i 8094	. . . 4 |- ((A - B) =/= 0 <-> 0 < (abs` (A - B)))
61	60	necon1bbii 2060	. . 3 |- (-. 0 < (abs` (A - B)) <-> (A - B) = 0)
62	59, 61	mpbi 206	. 2 |- (A - B) = 0
63	7, 11	subeq0i 6565	. 2 |- ((A - B) = 0 <-> A = B)
64	62, 63	mpbi 206	1 |- A = B

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climuni 8359  cvgcmpubi 8446  ef0 8597  efaddlem28 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain