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Theorem climuni 13028
Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climuni  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem climuni
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10674 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 nnuz 10894 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3 1zzd 10675 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  1  e.  ZZ )
4 climcl 12975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
543ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  e.  CC )
6 climcl 12975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  ~~>  B  ->  B  e.  CC )
763ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  B  e.  CC )
85, 7subcld 9717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
9 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  A  =/=  B )
105, 7, 9subne0d 9726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( A  -  B )  =/=  0
)
118, 10absrpcld 12932 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR+ )
1211rphalfcld 11037 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  / 
2 )  e.  RR+ )
13 eqidd 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  ~~>  A  /\  F 
~~>  B  /\  A  =/= 
B )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
14 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  A )
152, 3, 12, 13, 14climi 12986 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
16 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  F  ~~>  B )
172, 3, 12, 13, 16climi 12986 . . . . . 6  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) )
182rexanuz2 12835 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) )  /\  (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) ) ) )
1915, 17, 18sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
20 nnz 10666 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
21 uzid 10873 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
22 ne0i 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
23 r19.2z 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) )
2423ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  =/=  (/)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
2520, 21, 22, 244syl 21 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) ) ) )
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
27 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
2826, 27abssubd 12937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) ) )
2928breq1d 4300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  <-> 
( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
) ) )
30 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
31 subcl 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
3332abscld 12920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  -  B )
)  e.  RR )
34 abs3lem 12824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( A  -  B
) )  e.  RR ) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
3527, 30, 26, 33, 34syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) ) )
3633ltnrd 9506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  -.  ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) ) )
3736pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  <  ( abs `  ( A  -  B ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
3835, 37syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k ) ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B
) )  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
3938expd 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( A  -  ( F `  k )
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4029, 39sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( F `  k )  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  B
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) ) )
4140impr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4241adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  (
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  B ) )  <  ( ( abs `  ( A  -  B ) )  /  2 ) )  ->  -.  1  e.  ZZ ) )
4342expimpd 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4443rexlimdvw 2842 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4525, 44sylan9r 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4645rexlimdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
475, 7, 46syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  (
( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) )  /\  ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  B ) )  < 
( ( abs `  ( A  -  B )
)  /  2 ) ) )  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
4819, 47mpd 15 . . . 4  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  1  e.  ZZ )
49483expia 1189 . . 3  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  1  e.  ZZ )
)
5049necon4ad 2670 . 2  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  (
1  e.  ZZ  ->  A  =  B ) )
511, 50mpi 17 1  |-  ( ( F  ~~>  A  /\  F  ~~>  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   (/)c0 3635   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   1c1 9281    < clt 9416    - cmin 9593    / cdiv 9991   NNcn 10320   2c2 10369   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859   abscabs 12721    ~~> cli 12960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964
This theorem is referenced by:  fclim  13029  climeu  13031  summolem2  13191  summo  13192  ef0  13374  efcj  13375  efaddlem  13376  ioombl1lem4  21040  mbflimlem  21143  itg2i1fseq  21231  itg2addlem  21234  plyeq0lem  21676  ulmuni  21855  leibpi  22335  lgamp1  27041  lgam1  27048  prodmolem2  27446  prodmo  27447  stirlinglem15  29880
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