Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsuselem1 Structured version   Unicode version

Theorem climsuselem1 31376
 Description: The subsequence index has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always larger or equal than the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuselem1.1
climsuselem1.2
climsuselem1.3
climsuselem1.4
Assertion
Ref Expression
climsuselem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem climsuselem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuselem1.1 . . . . 5
21eleq2i 2545 . . . 4
32biimpi 194 . . 3
5 simpl 457 . 2
6 fveq2 5866 . . . . 5
7 fveq2 5866 . . . . 5
86, 7eleq12d 2549 . . . 4
98imbi2d 316 . . 3
10 fveq2 5866 . . . . 5
11 fveq2 5866 . . . . 5
1210, 11eleq12d 2549 . . . 4
1312imbi2d 316 . . 3
14 fveq2 5866 . . . . 5
15 fveq2 5866 . . . . 5
1614, 15eleq12d 2549 . . . 4
1716imbi2d 316 . . 3
18 fveq2 5866 . . . . 5
19 fveq2 5866 . . . . 5
2018, 19eleq12d 2549 . . . 4
2120imbi2d 316 . . 3
22 climsuselem1.3 . . . . 5
2322, 1syl6eleq 2565 . . . 4
2423a1i 11 . . 3
25 simpr 461 . . . . 5
26 simpll 753 . . . . 5
27 simplr 754 . . . . . 6
2825, 27mpd 15 . . . . 5
29 eluzelz 11092 . . . . . . . . . 10
30293ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9
3130peano2zd 10970 . . . . . . . 8
3231zred 10967 . . . . . . 7
33 eluzelre 11093 . . . . . . . . 9
34333ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
35 1re 9596 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
3734, 36readdcld 9624 . . . . . . 7
381eqimss2i 3559 . . . . . . . . . . . . . 14
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4039sseld 3503 . . . . . . . . . . . 12
4140imdistani 690 . . . . . . . . . . 11
42 climsuselem1.4 . . . . . . . . . . 11
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
44433adant3 1016 . . . . . . . . 9
45 eluzelz 11092 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8
4746zred 10967 . . . . . . 7
4830zred 10967 . . . . . . . 8
49 eluzle 11095 . . . . . . . . 9
50493ad2ant3 1019 . . . . . . . 8
5148, 34, 36, 50leadd1dd 10167 . . . . . . 7
52 eluzle 11095 . . . . . . . 8
5344, 52syl 16 . . . . . . 7
5432, 37, 47, 51, 53letrd 9739 . . . . . 6
55 eluz 11096 . . . . . . 7
5631, 46, 55syl2anc 661 . . . . . 6
5754, 56mpbird 232 . . . . 5
5825, 26, 28, 57syl3anc 1228 . . . 4
5958exp31 604 . . 3
609, 13, 17, 21, 24, 59uzind4 11140 . 2
614, 5, 60sylc 60 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wss 3476   class class class wbr 4447  cfv 5588  (class class class)co 6285  cr 9492  c1 9494   caddc 9496   cle 9630  cz 10865  cuz 11083 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084 This theorem is referenced by:  climsuse  31377
 Copyright terms: Public domain W3C validator