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Theorem climsuse 31166
Description: A subsequence  G of a converging sequence  F, converges to the same limit.  I is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1  |-  F/ k
ph
climsuse.3  |-  F/_ k F
climsuse.2  |-  F/_ k G
climsuse.4  |-  F/_ k
I
climsuse.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climsuse.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climsuse.7  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
climsuse.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climsuse.9  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climsuse.10  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
climsuse.11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
climsuse.12  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
climsuse.13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climsuse  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable group:    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    G( k)    I( k)    M( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables  h  i  j  x  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
2 climcl 13284 . . 3  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 nfv 1683 . . 3  |-  F/ x ph
5 climsuse.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
6 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( F `
 i )  =  ( F `  i
) )
75, 6clim 13279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
81, 7mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
98simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
109r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
11 simpllr 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
12 climsuse.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1312ad4antr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ZZ )
1411, 13ifclda 3971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  ZZ )
15 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )
16 nfra1 2845 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x )
1715, 16nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
18 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
19 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
2018, 19jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ZZ ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  M  <_  j )
2312anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
25 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2722, 26mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  ph )
29 uzid 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3028, 12, 293syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3127, 30ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  j , 
j ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
32 uzss 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( M  <_  j ,  j ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
34 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3533, 34syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  Z
)
3635sseld 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  Z ) )
3720, 21, 36sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
38 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k
ph
39 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k  i  e.  Z
4038, 39nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ph  /\  i  e.  Z )
41 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k G
42 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
i
4341, 42nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( G `  i
)
44 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k F
45 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
I
4645, 42nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( I `  i
)
4744, 46nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( F `  (
I `  i )
)
4843, 47nfeq 2640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) )
4940, 48nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) )
50 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  Z  <->  i  e.  Z ) )
5150anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  i  e.  Z ) ) )
52 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
53 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  k )  =  ( I `  i ) )
5453fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  ( I `  k ) )  =  ( F `  (
I `  i )
) )
5552, 54eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) )  <->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) ) )
5651, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) ) ) )
57 climsuse.13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
5849, 56, 57chvar 1982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
5934eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  Z  <->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
62 uzss 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
64 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
65 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( i  +  1 )
6645, 65nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( I `  (
i  +  1 ) )
67 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k ZZ>=
68 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k  +
69 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k
1
7046, 68, 69nfov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( ( I `  i )  +  1 )
7167, 70nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) )
7266, 71nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) )
7340, 72nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) ) )
74 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
k  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
7574fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  =  ( I `  ( i  +  1 ) ) )
7653oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  k
)  +  1 )  =  ( ( I `
 i )  +  1 ) )
7776fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  i  ->  ( ZZ>=
`  ( ( I `
 k )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) ) )
7875, 77eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) )  <->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) )
7951, 78imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  i  e.  Z
)  ->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) ) )
80 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
8173, 79, 80chvar 1982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  i
)  +  1 ) ) )
8234, 12, 64, 81climsuselem1 31165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i )
)
8363, 82sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
8483, 34syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  Z )
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( i  e.  Z  ->  ( I `  i
)  e.  Z ) )
8685imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ph  /\  ( I `  i )  e.  Z
) )
8739nfci 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k Z
8846, 87nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( I `  i
)  e.  Z
8938, 88nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )
9047nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( F `  (
I `  i )
)  e.  CC
9189, 90nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC )
92 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
k  e.  Z  <->  ( I `  i )  e.  Z
) )
9392anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z ) ) )
94 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
9594eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
9693, 95imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) ) )
97 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9846, 91, 96, 97vtoclgf 3169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I `  i )  e.  Z  ->  (
( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC ) )
9984, 86, 98sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC )
10058, 99eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
10118, 37, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
10218, 37, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) )
103102oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  -  A )  =  ( ( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )
104103fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( I `
 i ) )  -  A ) ) )
105 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  h  ->  ( F `  i )  =  ( F `  h ) )
106105eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  e.  CC  <->  ( F `  h )  e.  CC ) )
107105oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  -  A )  =  ( ( F `
 h )  -  A ) )
108107fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  h  ->  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) ) )
109108breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  (
( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A
) )  <  x
) )
110106, 109anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  h  ->  (
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) ) )
111110cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
112111biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
114 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  RR )
1151143ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
116 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
117 eluzelz 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  ZZ )
118 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
119116, 117, 1183syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  RR )
120 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
12112zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
123 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
124123zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  RR )
125122adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  RR )
126124, 125ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  RR )
127 max1 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
128122, 115, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
129 eluzle 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
1301293ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
131122, 126, 119, 128, 130letrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  i )
132120, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1331173ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
134 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
135132, 133, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
136131, 135mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
137136, 34syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
138120, 137jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  Z ) )
139 eluzelre 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( I `  i )  e.  RR )
140138, 83, 1393syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  RR )
141 max2 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
142122, 115, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
143115, 126, 119, 142, 130letrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  i )
144 eluzle 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  ( I `  i ) )
145138, 82, 1443syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  <_  ( I `  i ) )
146115, 119, 140, 143, 145letrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  ( I `  i ) )
147 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
148 eluzelz 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
149138, 82, 1483syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
150 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( I `  i
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
151147, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
152146, 151mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
15318, 19, 21, 152syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
154 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( F `  h )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
155154eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
156154oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( I `  i ) )  -  A ) )
157156fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( abs `  ( ( F `
 h )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) ) )
158157breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
) )
159155, 158anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) ) )
160159rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) )
161160simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x )
162113, 153, 161syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
)
163104, 162eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
)
164101, 163jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) )
165164ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  ( ( G `
 i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) ) )
16617, 165ralrimi 2864 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
167 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
168167raleqdv 3064 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) )
169168rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( M  <_ 
j ,  j ,  M )  e.  ZZ  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
17014, 166, 169syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
171170exp31 604 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( j  e.  ZZ  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
172171rexlimdv 2953 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
17310, 172mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
174173ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
1754, 174ralrimi 2864 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
176 climsuse.12 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
177 eqidd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( G `
 i )  =  ( G `  i
) )
178176, 177clim 13279 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
1793, 175, 178mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   RR+crp 11219   abscabs 13029    ~~> cli 13269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-clim 13273
This theorem is referenced by:  sumnnodd  31188  stirlinglem8  31397
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