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Theorem climsuse 31166
 Description: A subsequence of a converging sequence , converges to the same limit. is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1
climsuse.3
climsuse.2
climsuse.4
climsuse.5
climsuse.6
climsuse.7
climsuse.8
climsuse.9
climsuse.10
climsuse.11
climsuse.12
climsuse.13
Assertion
Ref Expression
climsuse
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3
2 climcl 13284 . . 3
31, 2syl 16 . 2
4 nfv 1683 . . 3
5 climsuse.7 . . . . . . . . 9
6 eqidd 2468 . . . . . . . . 9
75, 6clim 13279 . . . . . . . 8
81, 7mpbid 210 . . . . . . 7
98simprd 463 . . . . . 6
109r19.21bi 2833 . . . . 5
11 simpllr 758 . . . . . . . . 9
12 climsuse.6 . . . . . . . . . 10
1312ad4antr 731 . . . . . . . . 9
1411, 13ifclda 3971 . . . . . . . 8
15 nfv 1683 . . . . . . . . . 10
16 nfra1 2845 . . . . . . . . . 10
1715, 16nfan 1875 . . . . . . . . 9
18 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12
19 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14
2018, 19jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2312anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2722, 26mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
28 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
29 uzid 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3028, 12, 293syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3127, 30ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16
32 uzss 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . 14
3635sseld 3503 . . . . . . . . . . . . 13
3720, 21, 36sylc 60 . . . . . . . . . . . 12
38 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
42 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4341, 42nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
44 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645, 42nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4744, 46nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4843, 47nfeq 2640 . . . . . . . . . . . . . . 15
4940, 48nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . 14
50 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5552, 54eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15
5651, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
57 climsuse.13 . . . . . . . . . . . . . 14
5849, 56, 57chvar 1982 . . . . . . . . . . . . 13
5934eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 uzss 11101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6645, 65nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7046, 68, 69nfov 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7167, 70nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7266, 71nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7340, 72nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7574fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7653oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7875, 77eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7951, 78imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8173, 79, 80chvar 1982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8234, 12, 64, 81climsuselem1 31165 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8363, 82sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483, 34syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . 14
8584ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . 14
8739nfci 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8846, 87nfel 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8938, 88nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9047nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9189, 90nfim 1867 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 95imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . . . 15
9846, 91, 96, 97vtoclgf 3169 . . . . . . . . . . . . . 14
9984, 86, 98sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13
10058, 99eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12
10118, 37, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
10218, 37, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
103102oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . 13
104103fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
105 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107105oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110106, 109anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13
114 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1151143ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 eluzelz 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119116, 117, 1183syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12112zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
123 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
124123zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125122adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126124, 125ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127 max1 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128122, 115, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129 eluzle 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1301293ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131122, 126, 119, 128, 130letrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132120, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1331173ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135132, 133, 134syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136131, 135mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137136, 34syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138120, 137jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139 eluzelre 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
140138, 83, 1393syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141 max2 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142122, 115, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143115, 126, 119, 142, 130letrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144 eluzle 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145138, 82, 1443syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146115, 119, 140, 143, 145letrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148 eluzelz 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149138, 82, 1483syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150 eluz 11094 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151147, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
152146, 151mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
15318, 19, 21, 152syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
154 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155154eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
156154oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157156fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
158157breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
159155, 158anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . 14
161160simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
162113, 153, 161syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
163104, 162eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . 11
164101, 163jca 532 . . . . . . . . . 10
165164ex 434 . . . . . . . . 9
16617, 165ralrimi 2864 . . . . . . . 8
167 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10
168167raleqdv 3064 . . . . . . . . 9
169168rspcev 3214 . . . . . . . 8
17014, 166, 169syl2anc 661 . . . . . . 7
171170exp31 604 . . . . . 6
172171rexlimdv 2953 . . . . 5
17310, 172mpd 15 . . . 4
174173ex 434 . . 3
1754, 174ralrimi 2864 . 2
176 climsuse.12 . . 3
177 eqidd 2468 . . 3
178176, 177clim 13279 . 2
1793, 175, 178mpbir2and 920 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wnf 1599   wcel 1767  wnfc 2615  wral 2814  wrex 2815   wss 3476  cif 3939   class class class wbr 4447  cfv 5587  (class class class)co 6283  cc 9489  cr 9490  c1 9492   caddc 9494   clt 9627   cle 9628   cmin 9804  cz 10863  cuz 11081  crp 11219  cabs 13029   cli 13269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-clim 13273 This theorem is referenced by:  sumnnodd  31188  stirlinglem8  31397
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