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Theorem climsuse 31817
Description: A subsequence  G of a converging sequence  F, converges to the same limit.  I is the strictly increasing and it is used to index the subsequence (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuse.1  |-  F/ k
ph
climsuse.3  |-  F/_ k F
climsuse.2  |-  F/_ k G
climsuse.4  |-  F/_ k
I
climsuse.5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climsuse.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climsuse.7  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
climsuse.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climsuse.9  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climsuse.10  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
climsuse.11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
climsuse.12  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
climsuse.13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
climsuse  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Distinct variable group:    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    G( k)    I( k)    M( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem climsuse
Dummy variables  h  i  j  x  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuse.9 . . 3  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
2 climcl 13334 . . 3  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 nfv 1708 . . 3  |-  F/ x ph
5 simpllr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
6 climsuse.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76ad4antr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ZZ )
85, 7ifclda 3976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  ZZ )
9 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )
10 nfra1 2838 . . . . . . . 8  |-  F/ i A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x )
119, 10nfan 1929 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
12 simp-4l 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
13 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
1412, 13jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  j  e.  ZZ ) )
15 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  M  <_  j )
176anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
19 eluz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  j ) )
2116, 20mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  M  <_  j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  ph )
23 uzid 11120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2422, 6, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2521, 24ifclda 3976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_  j , 
j ,  M )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
26 uzss 11126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( M  <_  j ,  j ,  M
)  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) 
C_  ( ZZ>= `  M
) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
28 climsuse.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2927, 28syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )  C_  Z
)
3029sseld 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  Z ) )
3114, 15, 30sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
32 climsuse.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
ph
33 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  i  e.  Z
3432, 33nfan 1929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ph  /\  i  e.  Z )
35 climsuse.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k G
36 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
i
3735, 36nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( G `  i
)
38 climsuse.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k F
39 climsuse.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
I
4039, 36nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k
( I `  i
)
4138, 40nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( F `  (
I `  i )
)
4237, 41nfeq 2630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) )
4334, 42nfim 1921 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) )
44 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  Z  <->  i  e.  Z ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  i  e.  Z ) ) )
46 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( G `  k )  =  ( G `  i ) )
47 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  k )  =  ( I `  i ) )
4847fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  ( I `  k ) )  =  ( F `  (
I `  i )
) )
4946, 48eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) )  <->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) ) )
5045, 49imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k
)  =  ( F `
 ( I `  k ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i
)  =  ( F `
 ( I `  i ) ) ) ) )
51 climsuse.13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  ( I `  k
) ) )
5243, 50, 51chvar 2014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
5328eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  Z  <->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5453biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
56 uzss 11126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
58 climsuse.10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( I `  M
)  e.  Z )
59 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( i  +  1 )
6039, 59nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( I `  (
i  +  1 ) )
61 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k ZZ>=
62 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k  +
63 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k
1
6440, 62, 63nfov 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
( ( I `  i )  +  1 )
6561, 64nffv 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) )
6660, 65nfel 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) )
6734, 66nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( I `  (
i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  i )  +  1 ) ) )
68 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
k  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  =  ( I `  ( i  +  1 ) ) )
7047oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  k
)  +  1 )  =  ( ( I `
 i )  +  1 ) )
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( ZZ>=
`  ( ( I `
 k )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( (
I `  i )  +  1 ) ) )
7269, 71eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  (
( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) )  <->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) )
7345, 72imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( I `  (
k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  k )  +  1 ) ) )  <->  ( ( ph  /\  i  e.  Z
)  ->  ( I `  ( i  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( I `
 i )  +  1 ) ) ) ) )
74 climsuse.11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
I `  ( k  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  k
)  +  1 ) ) )
7567, 73, 74chvar 2014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  i
)  +  1 ) ) )
7628, 6, 58, 75climsuselem1 31816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i )
)
7757, 76sseldd 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7877, 28syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
I `  i )  e.  Z )
7978ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( i  e.  Z  ->  ( I `  i
)  e.  Z ) )
8079imdistani 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( ph  /\  ( I `  i )  e.  Z
) )
8133nfci 2608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k Z
8240, 81nfel 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( I `  i
)  e.  Z
8332, 82nfan 1929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )
8441nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( F `  (
I `  i )
)  e.  CC
8583, 84nfim 1921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC )
86 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
k  e.  Z  <->  ( I `  i )  e.  Z
) )
8786anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z ) ) )
88 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
8988eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
9087, 89imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( I `  i )  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  ( I `  i
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) ) )
91 climsuse.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9240, 85, 90, 91vtoclgf 3165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  i )  e.  Z  ->  (
( ph  /\  (
I `  i )  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC ) )
9378, 80, 92sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( F `  ( I `  i ) )  e.  CC )
9452, 93eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
9512, 31, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  e.  CC )
9612, 31, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( G `  i )  =  ( F `  ( I `
 i ) ) )
9796oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  -  A )  =  ( ( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )
9897fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( I `
 i ) )  -  A ) ) )
99 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  h  ->  ( F `  i )  =  ( F `  h ) )
10099eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  e.  CC  <->  ( F `  h )  e.  CC ) )
10199oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  h  ->  (
( F `  i
)  -  A )  =  ( ( F `
 h )  -  A ) )
102101fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  h  ->  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) ) )
103102breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  h  ->  (
( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A
) )  <  x
) )
104100, 103anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  h  ->  (
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) ) )
105104cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
106105biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
107106ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  A. h  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x ) )
108 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  RR )
1091083ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  RR )
110 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
111 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  i  e.  ZZ )
112 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  RR )
113110, 111, 1123syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  RR )
114 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ph )
1156zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  RR )
117 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  ZZ )
118117zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  M  <_ 
j )  ->  j  e.  RR )
119116adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  /\  -.  M  <_  j )  ->  M  e.  RR )
120118, 119ifclda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  e.  RR )
121 max1 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
122116, 109, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
123 eluzle 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
1241233ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  <_ 
i )
125116, 120, 113, 122, 124letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  <_  i )
126114, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
1271113ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
128 eluz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
129126, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  i ) )
130125, 129mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
131130, 28syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  e.  Z )
132114, 131jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ph  /\  i  e.  Z ) )
133 eluzelre 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( I `  i )  e.  RR )
134132, 77, 1333syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  RR )
135 max2 11413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )
136116, 109, 135syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  if ( M  <_  j ,  j ,  M
) )
137109, 120, 113, 136, 124letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  i )
138 eluzle 11118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  ( I `  i ) )
139132, 76, 1383syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  i  <_  ( I `  i ) )
140109, 113, 134, 137, 139letrd 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  <_  ( I `  i ) )
141 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
142 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  i )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
143132, 76, 1423syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  ZZ )
144 eluz 11119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( I `  i
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
145141, 143, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( (
I `  i )  e.  ( ZZ>= `  j )  <->  j  <_  ( I `  i ) ) )
146140, 145mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ  /\  i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
14712, 13, 15, 146syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( I `  i )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
148 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( F `  h )  =  ( F `  ( I `  i
) ) )
149148eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  e.  CC  <->  ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC ) )
150148oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( F `  h
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( I `  i ) )  -  A ) )
151150fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  ( abs `  ( ( F `
 h )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) ) )
152151breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
) )
153149, 152anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( I `  i )  ->  (
( ( F `  h )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  h
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) ) )
154153rspccva 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( ( F `  ( I `  i
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x ) )
155154simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. h  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  h
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  h )  -  A ) )  <  x )  /\  ( I `  i
)  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( abs `  (
( F `  (
I `  i )
)  -  A ) )  <  x )
156107, 147, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  ( I `  i
) )  -  A
) )  <  x
)
15798, 156eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
)
15895, 157jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )  ->  ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) )
159158ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  ( i  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) )  ->  ( ( G `
 i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `  i )  -  A
) )  <  x
) ) )
16011, 159ralrimi 2857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
161 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( ZZ>= `  l )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) )
162161raleqdv 3060 . . . . . . 7  |-  ( l  =  if ( M  <_  j ,  j ,  M )  -> 
( A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) )
163162rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( if ( M  <_ 
j ,  j ,  M )  e.  ZZ  /\ 
A. i  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  j ,  j ,  M ) ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
1648, 160, 163syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  j  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( F `  i
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  i )  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
165 climsuse.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  X )
166 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( F `
 i )  =  ( F `  i
) )
167165, 166clim 13329 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
1681, 167mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
169168simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
170169r19.21bi 2826 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
171164, 170r19.29a 2999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) )
172171ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  ->  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) ) )
1734, 172ralrimi 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l ) ( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( G `
 i )  -  A ) )  < 
x ) )
174 climsuse.12 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Y )
175 eqidd 2458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( G `
 i )  =  ( G `  i
) )
176174, 175clim 13329 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. l  e.  ZZ  A. i  e.  ( ZZ>= `  l )
( ( G `  i )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( G `  i
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
1773, 173, 176mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   abscabs 13079    ~~> cli 13319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-clim 13323
This theorem is referenced by:  sumnnodd  31839  stirlinglem8  32066
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