Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem climsup 13810
 Description: A bounded monotonic sequence converges to the supremum of its range. Theorem 12-5.1 of [Gleason] p. 180. (Contributed by NM, 13-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climsup.1
climsup.2
climsup.3
climsup.4
climsup.5
Assertion
Ref Expression
climsup
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem climsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsup.3 . . . . . . . . . 10
2 frn 5747 . . . . . . . . . 10
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9
4 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12
51, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11
6 climsup.2 . . . . . . . . . . . . 13
7 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9 climsup.1 . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . 11
11 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . 11
125, 10, 11syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
13 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9
15 climsup.5 . . . . . . . . . 10
16 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13
1716ralrn 6040 . . . . . . . . . . . 12
1817rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11
195, 18syl 17 . . . . . . . . . 10
2015, 19mpbird 240 . . . . . . . . 9
213, 14, 203jca 1210 . . . . . . . 8
22 suprcl 10591 . . . . . . . 8
2321, 22syl 17 . . . . . . 7
24 ltsubrp 11358 . . . . . . 7
2523, 24sylan 479 . . . . . 6
2621adantr 472 . . . . . . 7
27 rpre 11331 . . . . . . . 8
28 resubcl 9958 . . . . . . . 8
2923, 27, 28syl2an 485 . . . . . . 7
30 suprlub 10593 . . . . . . 7
3126, 29, 30syl2anc 673 . . . . . 6
3225, 31mpbid 215 . . . . 5
33 breq2 4399 . . . . . . . 8
3433rexrn 6039 . . . . . . 7
355, 34syl 17 . . . . . 6
3635biimpa 492 . . . . 5
3732, 36syldan 478 . . . 4
38 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12
391, 38sylan 479 . . . . . . . . . . 11
4039ad2ant2r 761 . . . . . . . . . 10
411adantr 472 . . . . . . . . . . 11
429uztrn2 11200 . . . . . . . . . . 11
43 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11
4441, 42, 43syl2an 485 . . . . . . . . . 10
4523ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
46 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
47 fzssuz 11865 . . . . . . . . . . . . . 14
48 uzss 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948, 9syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049, 9eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14
5247, 51syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . 13
53 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
5655ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
57 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . 13
5852, 56, 57sylc 61 . . . . . . . . . . . 12
5958r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11
60 fzssuz 11865 . . . . . . . . . . . . . 14
6160, 51syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . 13
6261sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
63 climsup.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
66 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6867fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15
6966, 68breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14
7069rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . 13
7165, 70sylan 479 . . . . . . . . . . . 12
7262, 71syldan 478 . . . . . . . . . . 11
7346, 59, 72monoord 12281 . . . . . . . . . 10
7440, 44, 45, 73lesub2dd 10251 . . . . . . . . 9
7545, 44resubcld 10068 . . . . . . . . . 10
7645, 40resubcld 10068 . . . . . . . . . 10
7727ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
78 lelttr 9742 . . . . . . . . . 10
7975, 76, 77, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
8074, 79mpand 689 . . . . . . . 8
81 ltsub23 10115 . . . . . . . . 9
8245, 77, 40, 81syl3anc 1292 . . . . . . . 8
8321ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
845adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
85 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . 12
8684, 42, 85syl2an 485 . . . . . . . . . . 11
87 suprub 10592 . . . . . . . . . . 11
8883, 86, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
8944, 45, 88abssuble0d 13571 . . . . . . . . 9
9089breq1d 4405 . . . . . . . 8
9180, 82, 903imtr4d 276 . . . . . . 7
9291anassrs 660 . . . . . 6
9392ralrimdva 2812 . . . . 5
9493reximdva 2858 . . . 4
9537, 94mpd 15 . . 3
9695ralrimiva 2809 . 2
97 fvex 5889 . . . . 5
989, 97eqeltri 2545 . . . 4
99 fex 6155 . . . 4
1001, 98, 99sylancl 675 . . 3
101 eqidd 2472 . . 3
10223recnd 9687 . . 3
1031, 43sylan 479 . . . 4
104103recnd 9687 . . 3
1059, 6, 100, 101, 102, 104clim2c 13646 . 2
10696, 105mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  cabs 13374   cli 13625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629 This theorem is referenced by:  isumsup2  13981  climcnds  13986  itg1climres  22751  itg2monolem1  22787  itg2i1fseq  22792  itg2i1fseq2  22793  emcllem6  24005  lmdvg  28833  esumpcvgval  28973
 Copyright terms: Public domain W3C validator