Theorem climsub 8390

Description: Limit of the difference of two converging sequences. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168.

Hypotheses

Ref	Expression
climsub.1	|- F e. _V
climsub.2	|- G e. _V
climsub.3	|- H e. _V
climsub.4	|- A e. _V
climsub.5	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
climsub	|- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> H ~~> (A - B))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,H   k,M

Proof of Theorem climsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 448	. . 3 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> F ~~> A)
2		ax1cn 6422	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
3	2	negcli 6526	. . . . . 6 |- -u1 e. CC
4		climsub.2	. . . . . . 7 |- G e. _V
5		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- (ZZ>=` M) e. _V
6	5	opabex2 4539	. . . . . . 7 |- {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} e. _V
7		climsub.5	. . . . . . 7 |- B e. _V
8	4, 6, 7	climmulc2 8389	. . . . . 6 |- (((-u1 e. CC /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((G` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k))))) -> {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} ~~> (-u1 x. B))
9	3, 8	mpanl1 770	. . . . 5 |- ((G ~~> B /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((G` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k))))) -> {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} ~~> (-u1 x. B))
10		simpr 350	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ (G` k) e. CC) -> (G` k) e. CC)
11		fveq2 4681	. . . . . . . . . . 11 |- (u = k -> (G` u) = (G` k))
12	11	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- (u = k -> (-u1 x. (G` u)) = (-u1 x. (G` k)))
13		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} = {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}
14		oprex 4907	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. (G` k)) e. _V
15	12, 13, 14	fvopab4 4743	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k)))
16	15	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ (G` k) e. CC) -> ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k)))
17	10, 16	jca 310	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ (G` k) e. CC) -> ((G` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k))))
18	17	3ad2antr2 1042	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> ((G` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k))))
19	18	ralimiaa 2167	. . . . 5 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))) -> A.k e. (ZZ>=` M)((G` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) = (-u1 x. (G` k))))
20	9, 19	sylanr2 512	. . . 4 |- ((G ~~> B /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} ~~> (-u1 x. B))
21	20	adantll 428	. . 3 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} ~~> (-u1 x. B))
22		simpr1 882	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> (F` k) e. CC)
23		mulcl 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ((-u1 e. CC /\ (G` k) e. CC) -> (-u1 x. (G` k)) e. CC)
24	3, 23	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((G` k) e. CC -> (-u1 x. (G` k)) e. CC)
25	24	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ (G` k) e. CC) -> (-u1 x. (G` k)) e. CC)
26	16, 25	eqeltrd 1971	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ (G` k) e. CC) -> ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC)
27	26	3ad2antr2 1042	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC)
28		id 73	. . . . . . . . . . 11 |- ((H` k) = ((F` k) - (G` k)) -> (H` k) = ((F` k) - (G` k)))
29		mulm1 6638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((G` k) e. CC -> (-u1 x. (G` k)) = -u(G` k))
30	29	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G` k) e. CC -> ((F` k) + (-u1 x. (G` k))) = ((F` k) + -u(G` k)))
31	30	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> ((F` k) + (-u1 x. (G` k))) = ((F` k) + -u(G` k)))
32		negsub 6540	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> ((F` k) + -u(G` k)) = ((F` k) - (G` k)))
33	31, 32	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) -> ((F` k) - (G` k)) = ((F` k) + (-u1 x. (G` k))))
34	28, 33	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . 10 |- ((((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC) /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))) -> (H` k) = ((F` k) + (-u1 x. (G` k))))
35	34	3impa 1062	. . . . . . . . 9 |- (((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))) -> (H` k) = ((F` k) + (-u1 x. (G` k))))
36	35	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> (H` k) = ((F` k) + (-u1 x. (G` k))))
37	15	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k)) = ((F` k) + (-u1 x. (G` k))))
38	37	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k)) = ((F` k) + (-u1 x. (G` k))))
39	36, 38	eqtr4d 1928	. . . . . . 7 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> (H` k) = ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k)))
40	22, 27, 39	3jca 1050	. . . . . 6 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ ((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> ((F` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k))))
41	40	ralimiaa 2167	. . . . 5 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))) -> A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k))))
42	41	anim2i 362	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k)))) -> (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k)))))
43	42	adantl 424	. . 3 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k)))))
44		climsub.1	. . . 4 |- F e. _V
45		climsub.3	. . . 4 |- H e. _V
46		climsub.4	. . . 4 |- A e. _V
47		oprex 4907	. . . 4 |- (-u1 x. B) e. _V
48	44, 6, 45, 46, 47	climadd 8377	. . 3 |- (((F ~~> A /\ {<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))} ~~> (-u1 x. B)) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + ({<.u, v>. | (u e. (ZZ>=` M) /\ v = (-u1 x. (G` u)))}` k))))) -> H ~~> (A + (-u1 x. B)))
49	1, 21, 43, 48	syl21anc 1099	. 2 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> H ~~> (A + (-u1 x. B)))
50		mulm1 6638	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (-u1 x. B) = -uB)
51	50	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (A + (-u1 x. B)) = (A + -uB))
52	51	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + (-u1 x. B)) = (A + -uB))
53		negsub 6540	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + -uB) = (A - B))
54	52, 53	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + (-u1 x. B)) = (A - B))
55		climcl 8238	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
56	46, 55	mpan 759	. . . 4 |- (F ~~> A -> A e. CC)
57		climcl 8238	. . . . 5 |- ((B e. _V /\ G ~~> B) -> B e. CC)
58	7, 57	mpan 759	. . . 4 |- (G ~~> B -> B e. CC)
59	54, 56, 58	syl2an 503	. . 3 |- ((F ~~> A /\ G ~~> B) -> (A + (-u1 x. B)) = (A - B))
60	59	adantr 425	. 2 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> (A + (-u1 x. B)) = (A - B))
61	49, 60	breqtrd 3361	1 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) - (G` k))))) -> H ~~> (A - B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climsubc2 8391  climcmplem 8397  subcn 9265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain