Theorem climsqueeze 8400

Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit.

Hypotheses

Ref	Expression
climsqueeze.1	|- F e. _V
climsqueeze.2	|- G e. _V
climsqueeze.3	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
climsqueeze	|- ((F ~~> A /\ M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> G ~~> A)

Distinct variable groups:   A,k   k,F   k,G   k,M

Proof of Theorem climsqueeze

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsqueeze.3	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	climrecl 8370	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) -> A e. RR)
3		simpll 448	. . . . 5 |- ((((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> (F` k) e. RR)
4	3	ralimi 2168	. . . 4 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR)
5	2, 4	syl3an3 1132	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> A e. RR)
6		lesub2 6850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ A e. RR) -> ((F` k) <_ (G` k) <-> (A - (G` k)) <_ (A - (F` k))))
7	6	3comr 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) -> ((F` k) <_ (G` k) <-> (A - (G` k)) <_ (A - (F` k))))
8	7	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) -> ((F` k) <_ (G` k) -> (A - (G` k)) <_ (A - (F` k))))
9	8	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (A e. RR -> ((F` k) e. RR -> ((G` k) e. RR -> ((F` k) <_ (G` k) -> (A - (G` k)) <_ (A - (F` k))))))
10	9	imp44 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ (F` k) <_ (G` k))) -> (A - (G` k)) <_ (A - (F` k)))
11	10	adantrrr 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (A - (G` k)) <_ (A - (F` k)))
12		abssuble0 8148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((G` k) e. RR /\ A e. RR /\ (G` k) <_ A) -> (abs` ((G` k) - A)) = (A - (G` k)))
13	12	3com12 1071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. RR /\ (G` k) e. RR /\ (G` k) <_ A) -> (abs` ((G` k) - A)) = (A - (G` k)))
14	13	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. RR /\ ((G` k) e. RR /\ (G` k) <_ A)) -> (abs` ((G` k) - A)) = (A - (G` k)))
15	14	adantrrl 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ ((G` k) e. RR /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (abs` ((G` k) - A)) = (A - (G` k)))
16	15	adantrll 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (abs` ((G` k) - A)) = (A - (G` k)))
17		simprll 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (F` k) e. RR)
18		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> A e. RR)
19		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR /\ A e. RR) -> (((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A) -> (F` k) <_ A))
20	19	3comr 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) -> (((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A) -> (F` k) <_ A))
21	20	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (A e. RR -> ((F` k) e. RR -> ((G` k) e. RR -> (((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A) -> (F` k) <_ A))))
22	21	imp44 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (F` k) <_ A)
23		abssuble0 8148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F` k) e. RR /\ A e. RR /\ (F` k) <_ A) -> (abs` ((F` k) - A)) = (A - (F` k)))
24	17, 18, 22, 23	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (abs` ((F` k) - A)) = (A - (F` k)))
25	11, 16, 24	3brtr4d 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. RR /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (abs` ((G` k) - A)) <_ (abs` ((F` k) - A)))
26	25	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (abs` ((G` k) - A)) <_ (abs` ((F` k) - A)))
27		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((G` k) e. RR /\ A e. RR) -> ((G` k) - A) e. RR)
28	27	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. RR /\ (G` k) e. RR) -> ((G` k) - A) e. RR)
29	28	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. RR /\ (G` k) e. RR) -> ((G` k) - A) e. CC)
30		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((G` k) - A) e. CC -> (abs` ((G` k) - A)) e. RR)
31	29, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ (G` k) e. RR) -> (abs` ((G` k) - A)) e. RR)
32	31	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR)) -> (abs` ((G` k) - A)) e. RR)
33		resubcl 6601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((F` k) e. RR /\ A e. RR) -> ((F` k) - A) e. RR)
34	33	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. RR /\ (F` k) e. RR) -> ((F` k) - A) e. RR)
35	34	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. RR /\ (F` k) e. RR) -> ((F` k) - A) e. CC)
36		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((F` k) - A) e. CC -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A e. RR /\ (F` k) e. RR) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
38	37	ad2ant2r 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR)) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
39		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR)) -> x e. RR)
40		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((abs` ((G` k) - A)) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR /\ x e. RR) -> (((abs` ((G` k) - A)) <_ (abs` ((F` k) - A)) /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - A)) < x))
41	32, 38, 39, 40	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ ((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR)) -> (((abs` ((G` k) - A)) <_ (abs` ((F` k) - A)) /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - A)) < x))
42	41	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (((abs` ((G` k) - A)) <_ (abs` ((F` k) - A)) /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - A)) < x))
43	26, 42	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> ((abs` ((F` k) - A)) < x -> (abs` ((G` k) - A)) < x))
44	43	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. RR /\ x e. RR) /\ (((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))
45	44	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> ((((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
46	45	ralimdv 2172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ x e. RR) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
47	46	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. RR -> (x e. RR -> (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))))
48	47	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> (x e. RR -> A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))))
49	48	imp31 389	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) /\ x e. RR) -> A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))
50		ralim 2164	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))
51	49, 50	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) /\ x e. RR) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))
52	51	3adantl1 1032	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) /\ x e. RR) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))
53	52	reximdv 2202	. . . . . . . . 9 |- (((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) /\ x e. RR) -> (E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x)))
54	53	imim2d 28	. . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) /\ x e. RR) -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
55	54	ralimdvaa 2171	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
56		climsqueeze.1	. . . . . . . . . 10 |- F e. _V
57	56	clm4a 8350	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
58		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
59	57, 58	syl3an2 1131	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
60		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- ((F` k) e. RR -> (F` k) e. CC)
61	60	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> (F` k) e. CC)
62	61	ralimi 2168	. . . . . . . 8 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC)
63	59, 62	syl3an3 1132	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
64		climsqueeze.2	. . . . . . . . . 10 |- G e. _V
65	64	clm4a 8350	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. CC) -> (G ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
66	65, 58	syl3an2 1131	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. CC) -> (G ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
67		recn 6466	. . . . . . . . . 10 |- ((G` k) e. RR -> (G` k) e. CC)
68	67	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- ((((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> (G` k) e. CC)
69	68	ralimi 2168	. . . . . . . 8 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. CC)
70	66, 69	syl3an3 1132	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (G ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - A)) < x))))
71	55, 63, 70	3imtr4d 602	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ A e. RR /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (F ~~> A -> G ~~> A))
72	71	3exp 1066	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (A e. RR -> (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> (F ~~> A -> G ~~> A))))
73	72	com24 41	. . . 4 |- (M e. ZZ -> (F ~~> A -> (A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A)) -> (A e. RR -> G ~~> A))))
74	73	3imp 1061	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> (A e. RR -> G ~~> A))
75	5, 74	mpd 29	. 2 |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> G ~~> A)
76	75	3com12 1071	1 |- ((F ~~> A /\ M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)(((F` k) e. RR /\ (G` k) e. RR) /\ ((F` k) <_ (G` k) /\ (G` k) <_ A))) -> G ~~> A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain