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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > climshftlem | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.) |
Ref | Expression |
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climshft.1 |
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climshftlem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | zaddcl 11001 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | ancoms 460 |
. . . . . 6
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3 | eluzsub 11212 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 3 | 3com12 1235 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 4 | 3expa 1231 |
. . . . . . . . 9
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6 | fveq2 5879 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | eleq1d 2533 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | 6 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 8 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 9 | breq1d 4405 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 7, 10 | anbi12d 725 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 11 | rspcv 3132 |
. . . . . . . . 9
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13 | 5, 12 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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14 | zcn 10966 |
. . . . . . . . . 10
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15 | eluzelcn 11194 |
. . . . . . . . . 10
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16 | climshft.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 16 | shftval 13214 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 17 | eleq1d 2533 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 17 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | 20 | breq1d 4405 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 18, 21 | anbi12d 725 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 14, 15, 22 | syl2an 485 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | adantlr 729 |
. . . . . . . 8
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25 | 13, 24 | sylibrd 242 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | ralrimdva 2812 |
. . . . . 6
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27 | fveq2 5879 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | raleqdv 2979 |
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29 | 28 | rspcev 3136 |
. . . . . 6
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30 | 2, 26, 29 | syl6an 554 |
. . . . 5
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31 | 30 | rexlimdva 2871 |
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32 | 31 | ralimdv 2806 |
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33 | 32 | anim2d 575 |
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34 | 16 | a1i 11 |
. . 3
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35 | eqidd 2472 |
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36 | 34, 35 | clim 13635 |
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37 | ovex 6336 |
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38 | 37 | a1i 11 |
. . 3
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39 | eqidd 2472 |
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40 | 38, 39 | clim 13635 |
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41 | 33, 36, 40 | 3imtr4d 276 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-nn 10632 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-shft 13207 df-clim 13629 |
This theorem is referenced by: climshft 13717 |
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