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Theorem climshftlem 13715
Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
climshftlem  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  A  ->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables  k  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 11001 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
21ancoms 460 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
3 eluzsub 11212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
433com12 1235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
543expa 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( n  -  M )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
76eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
86oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( F `  m
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
98fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
109breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
117, 10anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  -  M )  ->  (
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
1211rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  -  M )  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  (
( F `  (
n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
135, 12syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
14 zcn 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
15 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  M ) )  ->  n  e.  CC )
16 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  e. 
_V
1716shftval 13214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  M ) `  n )  =  ( F `  ( n  -  M
) ) )
1817eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  <->  ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC ) )
1917oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A )  =  ( ( F `
 ( n  -  M ) )  -  A ) )
2019fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  =  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) ) )
2120breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) )
2218, 21anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  CC )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2314, 15, 22syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) )  -> 
( ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x )  <->  ( ( F `  ( n  -  M ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  ( n  -  M
) )  -  A
) )  <  x
) ) )
2423adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x )  <-> 
( ( F `  ( n  -  M
) )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  (
n  -  M ) )  -  A ) )  <  x ) ) )
2513, 24sylibrd 242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( F  shift  M ) `  n )  -  A ) )  <  x ) ) )
2625ralrimdva 2812 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
27 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  ( k  +  M ) ) )
2827raleqdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  M )  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
)  <->  A. n  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  M ) ) ( ( ( F  shift  M ) `  n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `  n )  -  A
) )  <  x
) ) )
2928rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  M
)  e.  ZZ  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  M
) ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) )
302, 26, 29syl6an 554 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3130rexlimdva 2871 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x )  ->  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) )
3231ralimdv 2806 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x )  ->  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) )
3332anim2d 575 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 m )  -  A ) )  < 
x ) )  -> 
( A  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
3416a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  F  e.  _V )
35 eqidd 2472 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  =  ( F `
 m ) )
3634, 35clim 13635 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. k  e.  ZZ  A. m  e.  ( ZZ>= `  k )
( ( F `  m )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  m
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
37 ovex 6336 . . . 4  |-  ( F 
shift  M )  e.  _V
3837a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F  shift  M )  e. 
_V )
39 eqidd 2472 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( F  shift  M ) `  n )  =  ( ( F 
shift  M ) `  n
) )
4038, 39clim 13635 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( F  shift  M )  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. m  e.  ZZ  A. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( ( ( F 
shift  M ) `  n
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( F  shift  M ) `
 n )  -  A ) )  < 
x ) ) ) )
4133, 36, 403imtr4d 276 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( F 
~~>  A  ->  ( F  shift  M )  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555    + caddc 9560    < clt 9693    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325    shift cshi 13206   abscabs 13374    ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-shft 13207  df-clim 13629
This theorem is referenced by:  climshft  13717
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