Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshftlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem climshftlem 13715
 Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1
Assertion
Ref Expression
climshftlem

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 11001 . . . . . . 7
21ancoms 460 . . . . . 6
3 eluzsub 11212 . . . . . . . . . . 11
433com12 1235 . . . . . . . . . 10
543expa 1231 . . . . . . . . 9
6 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
76eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
86oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
98fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
109breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
117, 10anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
1211rspcv 3132 . . . . . . . . 9
135, 12syl 17 . . . . . . . 8
14 zcn 10966 . . . . . . . . . 10
15 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . 10
16 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13
1716shftval 13214 . . . . . . . . . . . 12
1817eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
1917oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12
2120breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
2218, 21anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
2314, 15, 22syl2an 485 . . . . . . . . 9
2423adantlr 729 . . . . . . . 8
2513, 24sylibrd 242 . . . . . . 7
2625ralrimdva 2812 . . . . . 6
27 fveq2 5879 . . . . . . . 8
2827raleqdv 2979 . . . . . . 7
2928rspcev 3136 . . . . . 6
302, 26, 29syl6an 554 . . . . 5
3130rexlimdva 2871 . . . 4
3231ralimdv 2806 . . 3
3332anim2d 575 . 2
3416a1i 11 . . 3
35 eqidd 2472 . . 3
3634, 35clim 13635 . 2
37 ovex 6336 . . . 4
3837a1i 11 . . 3
39 eqidd 2472 . . 3
4038, 39clim 13635 . 2
4133, 36, 403imtr4d 276 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555   caddc 9560   clt 9693   cmin 9880  cz 10961  cuz 11182  crp 11325   cshi 13206  cabs 13374   cli 13625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-shft 13207  df-clim 13629 This theorem is referenced by:  climshft  13717
 Copyright terms: Public domain W3C validator