Theorem climshftlem 13346

Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
climshft.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
climshftlem	|- ( M e. ZZ -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Proof of Theorem climshftlem

Dummy variables k m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddcl 10892	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 453	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k + M ) e. ZZ )
3		eluzsub 11100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
4	3	3com12 1195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
5	4	3expa 1191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) )
6		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( n - M ) ) )
7	6	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
8	6	oveq1d 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( F ` m ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
9	8	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n - M ) -> ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
10	9	breq1d 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
11	7, 10	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n - M ) -> ( ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
12	11	rspcv 3203	. . . . . . . . 9 |- ( ( n - M ) e. ( ZZ>= ` k ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
13	5, 12	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
14		zcn 10858	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
15		eluzelz 11080	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. ZZ )
16	15	zcnd 10956	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) -> n e. CC )
17		climshft.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F e. _V
18	17	shftval 12857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( F ` ( n - M ) ) )
19	18	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC <-> ( F ` ( n - M ) ) e. CC ) )
20	18	oveq1d 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) = ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) )
21	20	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. CC /\ n e. CC ) -> ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) = ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) )
22	21	breq1d 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) )
23	19, 22	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. CC /\ n e. CC ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
24	14, 16, 23	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
25	24	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> ( ( F ` ( n - M ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` ( n - M ) ) - A ) ) < x ) ) )
26	13, 25	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
27	26	ralrimdva 2875	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
28		fveq2 5857	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + M ) -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` ( k + M ) ) )
29	28	raleqdv 3057	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + M ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
30	29	rspcev 3207	. . . . . 6 |- ( ( ( k + M ) e. ZZ /\ A. n e. ( ZZ>= ` ( k + M ) ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) )
31	2, 27, 30	syl6an 545	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
32	31	rexlimdva 2948	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
33	32	ralimdv 2867	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) -> A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) )
34	33	anim2d 565	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) -> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
35	17	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ZZ -> F e. _V )
36		eqidd 2461	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
37	35, 36	clim 13266	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. k e. ZZ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` m ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` m ) - A ) ) < x ) ) ) )
38		ovex 6300	. . . 4 |- ( F shift M ) e. _V
39	38	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( F shift M ) e. _V )
40		eqidd 2461	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( F shift M ) ` n ) = ( ( F shift M ) ` n ) )
41	39, 40	clim 13266	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( ( F shift M ) ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. m e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F shift M ) ` n ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( F shift M ) ` n ) - A ) ) < x ) ) ) )
42	34, 37, 41	3imtr4d 268	1 |- ( M e. ZZ -> ( F ~~> A -> ( F shift M ) ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   + caddc 9484   < clt 9617   - cmin 9794   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   shift cshi 12849   abscabs 13017   ~~> cli 13256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-shft 12850  df-clim 13260

This theorem is referenced by:  climshft  13348