Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshftlem Structured version   Unicode version

Theorem climshftlem 13346
 Description: A shifted function converges if the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
climshft.1
Assertion
Ref Expression
climshftlem

Proof of Theorem climshftlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zaddcl 10892 . . . . . . 7
21ancoms 453 . . . . . 6
3 eluzsub 11100 . . . . . . . . . . 11
433com12 1195 . . . . . . . . . 10
543expa 1191 . . . . . . . . 9
6 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12
76eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11
86oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13
98fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12
109breq1d 4450 . . . . . . . . . . 11
117, 10anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
1211rspcv 3203 . . . . . . . . 9
135, 12syl 16 . . . . . . . 8
14 zcn 10858 . . . . . . . . . 10
15 eluzelz 11080 . . . . . . . . . . 11
1615zcnd 10956 . . . . . . . . . 10
17 climshft.1 . . . . . . . . . . . . 13
1817shftval 12857 . . . . . . . . . . . 12
1918eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11
2018oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13
2120fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12
2221breq1d 4450 . . . . . . . . . . 11
2319, 22anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
2414, 16, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9
2524adantlr 714 . . . . . . . 8
2613, 25sylibrd 234 . . . . . . 7
2726ralrimdva 2875 . . . . . 6
28 fveq2 5857 . . . . . . . 8
2928raleqdv 3057 . . . . . . 7
3029rspcev 3207 . . . . . 6
312, 27, 30syl6an 545 . . . . 5
3231rexlimdva 2948 . . . 4
3332ralimdv 2867 . . 3
3433anim2d 565 . 2
3517a1i 11 . . 3
36 eqidd 2461 . . 3
3735, 36clim 13266 . 2
38 ovex 6300 . . . 4
3938a1i 11 . . 3
40 eqidd 2461 . . 3
4139, 40clim 13266 . 2
4234, 37, 413imtr4d 268 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807  wrex 2808  cvv 3106   class class class wbr 4440  cfv 5579  (class class class)co 6275  cc 9479   caddc 9484   clt 9617   cmin 9794  cz 10853  cuz 11071  crp 11209   cshi 12849  cabs 13017   cli 13256 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-shft 12850  df-clim 13260 This theorem is referenced by:  climshft  13348
 Copyright terms: Public domain W3C validator