Theorem climshfti 8364

Description: A shifted function converges iff the original function converges.

Hypotheses

Ref	Expression
climshft.1	|- F e. _V
climshft.2	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climshfti	|- (A e. CC -> ((F shift M) ~~> A <-> F ~~> A))

Proof of Theorem climshfti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 7355	. . . 4 |- 0 e. ZZ
2		uzssz 7599	. . . 4 |- (ZZ>=` 0) C_ ZZ
3		ssid 2634	. . . 4 |- ZZ C_ ZZ
4		oprex 4907	. . . 4 |- (F shift M) e. _V
5	1, 2, 3, 1, 2, 3, 4	clm2i 8338	. . 3 |- (A e. CC -> ((F shift M) ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)))))
6		climshft.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- M e. ZZ
7	6	zrei 7350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- M e. RR
8		lesubadd 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((j e. RR /\ M e. RR /\ n e. RR) -> ((j - M) <_ n <-> j <_ (n + M)))
9	7, 8	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((j e. RR /\ n e. RR) -> ((j - M) <_ n <-> j <_ (n + M)))
10		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
11		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. ZZ -> n e. RR)
12	9, 10, 11	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((j e. ZZ /\ n e. ZZ) -> ((j - M) <_ n <-> j <_ (n + M)))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) -> ((j - M) <_ n <-> j <_ (n + M)))
14		zaddcl 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((n e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (n + M) e. ZZ)
15	6, 14	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. ZZ -> (n + M) e. ZZ)
16		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = (n + M) -> (j <_ t <-> j <_ (n + M)))
17		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (t = (n + M) -> ((F shift M)` t) = ((F shift M)` (n + M)))
18	17	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = (n + M) -> (((F shift M)` t) e. CC <-> ((F shift M)` (n + M)) e. CC))
19	17	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (t = (n + M) -> (((F shift M)` t) - A) = (((F shift M)` (n + M)) - A))
20	19	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (t = (n + M) -> (abs` (((F shift M)` t) - A)) = (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)))
21	20	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t = (n + M) -> ((abs` (((F shift M)` t) - A)) < x <-> (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x))
22	18, 21	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = (n + M) -> ((((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x) <-> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x)))
23	16, 22	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = (n + M) -> ((j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) <-> (j <_ (n + M) -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x))))
24	23	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n + M) e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> (j <_ (n + M) -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x))))
25	15, 24	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> (j <_ (n + M) -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x))))
26	25	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. ZZ /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) -> (j <_ (n + M) -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x)))
27	26	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) -> (j <_ (n + M) -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x)))
28	13, 27	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) -> ((j - M) <_ n -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x)))
29	28	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) /\ (j - M) <_ n) -> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x))
30		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n + M) e. ZZ -> (n + M) e. CC)
31		climshft.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F e. _V
32	31	shftval 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. ZZ /\ (n + M) e. CC) -> ((F shift M)` (n + M)) = (F` ((n + M) - M)))
33	6, 32	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n + M) e. CC -> ((F shift M)` (n + M)) = (F` ((n + M) - M)))
34	15, 30, 33	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. ZZ -> ((F shift M)` (n + M)) = (F` ((n + M) - M)))
35		pncan 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((n e. CC /\ M e. CC) -> ((n + M) - M) = n)
36		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n e. ZZ -> n e. CC)
37	7	recni 6467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- M e. CC
38	35, 36, 37	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. ZZ -> ((n + M) - M) = n)
39	38	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. ZZ -> (F` ((n + M) - M)) = (F` n))
40	34, 39	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (n e. ZZ -> (F` n) = ((F shift M)` (n + M)))
41	40	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((j e. ZZ /\ n e. ZZ) -> (F` n) = ((F shift M)` (n + M)))
42	41	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) /\ (j - M) <_ n) -> (F` n) = ((F shift M)` (n + M)))
43		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` n) = ((F shift M)` (n + M)) -> ((F` n) e. CC <-> ((F shift M)` (n + M)) e. CC))
44		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` n) = ((F shift M)` (n + M)) -> ((F` n) - A) = (((F shift M)` (n + M)) - A))
45	44	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` n) = ((F shift M)` (n + M)) -> (abs` ((F` n) - A)) = (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)))
46	45	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` n) = ((F shift M)` (n + M)) -> ((abs` ((F` n) - A)) < x <-> (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x))
47	43, 46	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` n) = ((F shift M)` (n + M)) -> (((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x) <-> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x)))
48	42, 47	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) /\ (j - M) <_ n) -> (((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x) <-> (((F shift M)` (n + M)) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` (n + M)) - A)) < x)))
49	29, 48	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((j e. ZZ /\ n e. ZZ) /\ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) /\ (j - M) <_ n) -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))
50	49	exp41 413	. . . . . . . . . . 11 |- (j e. ZZ -> (n e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))))
51	50	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (j e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> (n e. ZZ -> ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))))
52	51	r19.21adv 2181	. . . . . . . . 9 |- (j e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> A.n e. ZZ ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))))
53		zsubcl 7377	. . . . . . . . . 10 |- ((j e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (j - M) e. ZZ)
54	6, 53	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (j e. ZZ -> (j - M) e. ZZ)
55	52, 54	jctild 662	. . . . . . . 8 |- (j e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> ((j - M) e. ZZ /\ A.n e. ZZ ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))))
56		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (m = (j - M) -> (m <_ n <-> (j - M) <_ n))
57	56	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (m = (j - M) -> ((m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) <-> ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))))
58	57	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (m = (j - M) -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) <-> A.n e. ZZ ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))))
59	58	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((j - M) e. ZZ /\ A.n e. ZZ ((j - M) <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))
60	55, 59	syl6 25	. . . . . . 7 |- (j e. ZZ -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))))
61	60	r19.23aiv 2211	. . . . . 6 |- (E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))
62		leaddsub 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((m e. RR /\ M e. RR /\ t e. RR) -> ((m + M) <_ t <-> m <_ (t - M)))
63	7, 62	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((m e. RR /\ t e. RR) -> ((m + M) <_ t <-> m <_ (t - M)))
64		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m e. ZZ -> m e. RR)
65		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t e. ZZ -> t e. RR)
66	63, 64, 65	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((m e. ZZ /\ t e. ZZ) -> ((m + M) <_ t <-> m <_ (t - M)))
67	66	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) -> ((m + M) <_ t <-> m <_ (t - M)))
68		zsubcl 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (t - M) e. ZZ)
69	6, 68	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t e. ZZ -> (t - M) e. ZZ)
70		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (n = (t - M) -> (m <_ n <-> m <_ (t - M)))
71		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (n = (t - M) -> (F` n) = (F` (t - M)))
72	71	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (n = (t - M) -> ((F` n) e. CC <-> (F` (t - M)) e. CC))
73	71	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (n = (t - M) -> ((F` n) - A) = ((F` (t - M)) - A))
74	73	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (n = (t - M) -> (abs` ((F` n) - A)) = (abs` ((F` (t - M)) - A)))
75	74	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (n = (t - M) -> ((abs` ((F` n) - A)) < x <-> (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x))
76	72, 75	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (n = (t - M) -> (((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x) <-> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x)))
77	70, 76	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (n = (t - M) -> ((m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) <-> (m <_ (t - M) -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x))))
78	77	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t - M) e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> (m <_ (t - M) -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x))))
79	69, 78	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> (m <_ (t - M) -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x))))
80	79	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((t e. ZZ /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) -> (m <_ (t - M) -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x)))
81	80	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) -> (m <_ (t - M) -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x)))
82	67, 81	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) -> ((m + M) <_ t -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x)))
83	82	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) /\ (m + M) <_ t) -> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x))
84	31	shftval 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. ZZ /\ t e. CC) -> ((F shift M)` t) = (F` (t - M)))
85		zcn 7349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t e. ZZ -> t e. CC)
86	84, 6, 85	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. ZZ -> ((F shift M)` t) = (F` (t - M)))
87	86	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((m e. ZZ /\ t e. ZZ) -> ((F shift M)` t) = (F` (t - M)))
88	87	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) /\ (m + M) <_ t) -> ((F shift M)` t) = (F` (t - M)))
89		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F shift M)` t) = (F` (t - M)) -> (((F shift M)` t) e. CC <-> (F` (t - M)) e. CC))
90		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F shift M)` t) = (F` (t - M)) -> (((F shift M)` t) - A) = ((F` (t - M)) - A))
91	90	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F shift M)` t) = (F` (t - M)) -> (abs` (((F shift M)` t) - A)) = (abs` ((F` (t - M)) - A)))
92	91	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F shift M)` t) = (F` (t - M)) -> ((abs` (((F shift M)` t) - A)) < x <-> (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x))
93	89, 92	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F shift M)` t) = (F` (t - M)) -> ((((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x) <-> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x)))
94	88, 93	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) /\ (m + M) <_ t) -> ((((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x) <-> ((F` (t - M)) e. CC /\ (abs` ((F` (t - M)) - A)) < x)))
95	83, 94	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((m e. ZZ /\ t e. ZZ) /\ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))) /\ (m + M) <_ t) -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))
96	95	exp41 413	. . . . . . . . . . 11 |- (m e. ZZ -> (t e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)))))
97	96	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (m e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> (t e. ZZ -> ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)))))
98	97	r19.21adv 2181	. . . . . . . . 9 |- (m e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> A.t e. ZZ ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))))
99		zaddcl 7374	. . . . . . . . . 10 |- ((m e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (m + M) e. ZZ)
100	6, 99	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (m e. ZZ -> (m + M) e. ZZ)
101	98, 100	jctild 662	. . . . . . . 8 |- (m e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> ((m + M) e. ZZ /\ A.t e. ZZ ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)))))
102		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (m + M) -> (j <_ t <-> (m + M) <_ t))
103	102	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (j = (m + M) -> ((j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) <-> ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))))
104	103	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (j = (m + M) -> (A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) <-> A.t e. ZZ ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))))
105	104	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((m + M) e. ZZ /\ A.t e. ZZ ((m + M) <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) -> E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)))
106	101, 105	syl6 25	. . . . . . 7 |- (m e. ZZ -> (A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))))
107	106	r19.23aiv 2211	. . . . . 6 |- (E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)) -> E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)))
108	61, 107	impbii 174	. . . . 5 |- (E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x)) <-> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))
109	108	imbi2i 202	. . . 4 |- ((0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) <-> (0 < x -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))))
110	109	ralbii 2127	. . 3 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. ZZ (j <_ t -> (((F shift M)` t) e. CC /\ (abs` (((F shift M)` t) - A)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x))))
111	5, 110	syl6bb 595	. 2 |- (A e. CC -> ((F shift M) ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))))
112	1, 2, 3, 1, 2, 3, 31	clm2i 8338	. 2 |- (A e. CC -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.m e. ZZ A.n e. ZZ (m <_ n -> ((F` n) e. CC /\ (abs` ((F` n) - A)) < x)))))
113	111, 112	bitr4d 590	1 |- (A e. CC -> ((F shift M) ~~> A <-> F ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653   shift cshi 7753  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climshft2i 8366  iserzshfti 8404  bfplem8 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-shft 7754  df-clim 8235

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