Theorem climshft2i 8366

Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 19-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
climshft2.1	|- F e. _V
climshft2.2	|- G e. _V
climshft2.3	|- M e. ZZ
climshft2.4	|- K e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climshft2i	|- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,K   k,M

Proof of Theorem climshft2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 8238	. . . 4 |- ((A e. B /\ F ~~> A) -> A e. CC)
2	1	anim1i 361	. . 3 |- (((A e. B /\ F ~~> A) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
3	2	an1rs 547	. 2 |- (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) /\ F ~~> A) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
4		climcl 8238	. . . 4 |- ((A e. B /\ G ~~> A) -> A e. CC)
5	4	anim1i 361	. . 3 |- (((A e. B /\ G ~~> A) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
6	5	an1rs 547	. 2 |- (((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) /\ G ~~> A) -> (A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)))
7		climshft2.4	. . . . . . . . 9 |- K e. ZZ
8		znegcl 7372	. . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- -uK e. ZZ
10		climshft2.2	. . . . . . . . 9 |- G e. _V
11	10	shftfn 7756	. . . . . . . 8 |- (-uK e. ZZ -> (G shift -uK) Fn CC)
12	9, 11	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (G shift -uK) Fn CC
13		0z 7355	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
14		climshft2.1	. . . . . . . . 9 |- F e. _V
15	14	shftfn 7756	. . . . . . . 8 |- (0 e. ZZ -> (F shift 0) Fn CC)
16	13, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (F shift 0) Fn CC
17		uzssz 7599	. . . . . . . . 9 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
18		zsscn 7352	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ CC
19	17, 18	sstri 2626	. . . . . . . 8 |- (ZZ>=` M) C_ CC
20		fvreseq 4772	. . . . . . . 8 |- ((((G shift -uK) Fn CC /\ (F shift 0) Fn CC) /\ (ZZ>=` M) C_ CC) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k)))
21	19, 20	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (((G shift -uK) Fn CC /\ (F shift 0) Fn CC) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k)))
22	12, 16, 21	mp2an 761	. . . . . 6 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k))
23		eluzelz 7592	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> k e. ZZ)
24		zcn 7349	. . . . . . . . . 10 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. (ZZ>=` M) -> k e. CC)
26	7	zrei 7350	. . . . . . . . . . . 12 |- K e. RR
27	26	recni 6467	. . . . . . . . . . 11 |- K e. CC
28	10	shftval4 7762	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> ((G shift -uK)` k) = (G` (K + k)))
29	27, 28	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> ((G shift -uK)` k) = (G` (K + k)))
30		addcom 6458	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> (K + k) = (k + K))
31	27, 30	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> (K + k) = (k + K))
32	31	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> (G` (K + k)) = (G` (k + K)))
33	29, 32	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- (k e. CC -> ((G shift -uK)` k) = (G` (k + K)))
34	25, 33	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((G shift -uK)` k) = (G` (k + K)))
35	14	shftidt 7768	. . . . . . . . 9 |- (k e. CC -> ((F shift 0)` k) = (F` k))
36	25, 35	syl 12	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F shift 0)` k) = (F` k))
37	34, 36	eqeq12d 1899	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k) <-> (G` (k + K)) = (F` k)))
38	37	ralbiia 2133	. . . . . 6 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((G shift -uK)` k) = ((F shift 0)` k) <-> A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k))
39	22, 38	bitri 190	. . . . 5 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) <-> A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k))
40		breq1 3341	. . . . 5 |- (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) = ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) ~~> A))
41	39, 40	sylbir 218	. . . 4 |- (A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) ~~> A))
42	41	adantl 424	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> ((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) ~~> A))
43		oprex 4907	. . . . . 6 |- (G shift -uK) e. _V
44		climshft2.3	. . . . . 6 |- M e. ZZ
45	43, 44	climresi 8365	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> (G shift -uK) ~~> A))
46	10, 9	climshfti 8364	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((G shift -uK) ~~> A <-> G ~~> A))
47	45, 46	bitrd 587	. . . 4 |- (A e. CC -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> G ~~> A))
48	47	adantr 425	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((G shift -uK) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> G ~~> A))
49		oprex 4907	. . . . . 6 |- (F shift 0) e. _V
50	49, 44	climresi 8365	. . . . 5 |- (A e. CC -> (((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> (F shift 0) ~~> A))
51	14, 13	climshfti 8364	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((F shift 0) ~~> A <-> F ~~> A))
52	50, 51	bitrd 587	. . . 4 |- (A e. CC -> (((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
53	52	adantr 425	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (((F shift 0) |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
54	42, 48, 53	3bitr3rd 608	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))
55	3, 6, 54	pm5.21nd 744	1 |- ((A e. B /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` (k + K)) = (F` k)) -> (F ~~> A <-> G ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   |` cres 3988   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389  -ucneg 6446  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   shift cshi 7753   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  iserzshft2i 8367

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-shft 7754  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain