Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft2 Structured version   Unicode version

Theorem climshft2 13416
 Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1
climshft2.2
climshft2.3
climshft2.5
climshft2.6
climshft2.7
Assertion
Ref Expression
climshft2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3
2 ovex 6324 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 climshft2.5 . . 3
5 climshft2.2 . . 3
6 climshft2.3 . . . . . . 7
76zcnd 10991 . . . . . 6
8 eluzelz 11115 . . . . . . . 8
98, 1eleq2s 2565 . . . . . . 7
109zcnd 10991 . . . . . 6
11 fvex 5882 . . . . . . 7
1211shftval4 12921 . . . . . 6
137, 10, 12syl2an 477 . . . . 5
14 climshft2.6 . . . . . . . . 9
15 fvi 5930 . . . . . . . . 9
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8
1716adantr 465 . . . . . . 7
1817oveq1d 6311 . . . . . 6
1918fveq1d 5874 . . . . 5
20 addcom 9783 . . . . . . 7
217, 10, 20syl2an 477 . . . . . 6
2217, 21fveq12d 5878 . . . . 5
2313, 19, 223eqtr3d 2506 . . . 4
24 climshft2.7 . . . 4
2523, 24eqtrd 2498 . . 3
261, 3, 4, 5, 25climeq 13401 . 2
276znegcld 10992 . . 3
28 climshft 13410 . . 3
2927, 14, 28syl2anc 661 . 2
3026, 29bitr3d 255 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   class class class wbr 4456   cid 4799  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507   caddc 9512  cneg 9825  cz 10885  cuz 11106   cshi 12910   cli 13318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-shft 12911  df-clim 13322 This theorem is referenced by:  isercoll2  13502  trireciplem  13684  divcnvshft  29292  divcnvlin  29293
 Copyright terms: Public domain W3C validator