Theorem climserzlei 8407

Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit.

Hypotheses

Ref	Expression
climserzle.1	|- F e. _V
climserzle.2	|- A e. _V
climserzle.3	|- (<.M, + >. seq F) ~~> A
climserzle.4	|- F:(ZZ>=` M)-->RR

Assertion

Ref	Expression
climserzlei	|- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> ((<.M, + >. seq F)` N) <_ A)

Distinct variable groups:   k,F   k,M   k,N

Proof of Theorem climserzlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 7592	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> N e. ZZ)
2	1	peano2zdi 7376	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. ZZ)
3	2	adantr 425	. . 3 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> (N + 1) e. ZZ)
4		climserzle.1	. . . . 5 |- F e. _V
5		climserzle.2	. . . . 5 |- A e. _V
6		climserzle.3	. . . . 5 |- (<.M, + >. seq F) ~~> A
7		climserzle.4	. . . . . 6 |- F:(ZZ>=` M)-->RR
8		axresscn 6420	. . . . . 6 |- RR C_ CC
9		fss 4571	. . . . . 6 |- ((F:(ZZ>=` M)-->RR /\ RR C_ CC) -> F:(ZZ>=` M)-->CC)
10	7, 8, 9	mp2an 761	. . . . 5 |- F:(ZZ>=` M)-->CC
11	4, 5, 6, 10	clim2serzi 8405	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
12	11	adantr 425	. . 3 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
13		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ j e. (ZZ>=` (N + 1))) -> j e. (ZZ>=` (N + 1)))
14		uztrn 7597	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N + 1) e. (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
15	14	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- (((N + 1) e. (ZZ>=` M) /\ k e. (ZZ>=` (N + 1))) -> k e. (ZZ>=` M))
16		peano2uz 7616	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (N + 1) e. (ZZ>=` M))
17		elfzuz 7658	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. ((N + 1)...j) -> k e. (ZZ>=` (N + 1)))
18	15, 16, 17	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. ((N + 1)...j)) -> k e. (ZZ>=` M))
19	7	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. RR)
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ k e. ((N + 1)...j)) -> (F` k) e. RR)
21	20	r19.21aiva 2176	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> A.k e. ((N + 1)...j)(F` k) e. RR)
22	21	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ j e. (ZZ>=` (N + 1))) -> A.k e. ((N + 1)...j)(F` k) e. RR)
23	4	serzrecl 8310	. . . . . . 7 |- ((j e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ A.k e. ((N + 1)...j)(F` k) e. RR) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` j) e. RR)
24	13, 22, 23	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ j e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` j) e. RR)
25	24	adantlr 429	. . . . 5 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) /\ j e. (ZZ>=` (N + 1))) -> ((<.(N + 1), + >. seq F)` j) e. RR)
26	4	serzcmp0 8315	. . . . . . 7 |- ((j e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ A.k e. ((N + 1)...j)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))) -> 0 <_ ((<.(N + 1), + >. seq F)` j))
27		pm3.2 305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` k) e. RR -> (0 <_ (F` k) -> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))))
28	19, 27	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (0 <_ (F` k) -> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))))
29	28	a2i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. (ZZ>=` M) -> 0 <_ (F` k)) -> (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))))
30	14, 17, 16	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k e. ((N + 1)...j) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
31	29, 30	syl5 20	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. (ZZ>=` M) -> 0 <_ (F` k)) -> ((k e. ((N + 1)...j) /\ N e. (ZZ>=` M)) -> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))))
32	31	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- ((k e. (ZZ>=` M) -> 0 <_ (F` k)) -> (k e. ((N + 1)...j) -> (N e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)))))
33	32	com3r 39	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((k e. (ZZ>=` M) -> 0 <_ (F` k)) -> (k e. ((N + 1)...j) -> ((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)))))
34	33	ralimdv2 2173	. . . . . . . 8 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k) -> A.k e. ((N + 1)...j)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k))))
35	34	imp 377	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> A.k e. ((N + 1)...j)((F` k) e. RR /\ 0 <_ (F` k)))
36	26, 35	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((j e. (ZZ>=` (N + 1)) /\ (N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k))) -> 0 <_ ((<.(N + 1), + >. seq F)` j))
37	36	ancoms 484	. . . . 5 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) /\ j e. (ZZ>=` (N + 1))) -> 0 <_ ((<.(N + 1), + >. seq F)` j))
38	25, 37	jca 310	. . . 4 |- (((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) /\ j e. (ZZ>=` (N + 1))) -> (((<.(N + 1), + >. seq F)` j) e. RR /\ 0 <_ ((<.(N + 1), + >. seq F)` j)))
39	38	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> A.j e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.(N + 1), + >. seq F)` j) e. RR /\ 0 <_ ((<.(N + 1), + >. seq F)` j)))
40		oprex 4907	. . . 4 |- (A - ((<.M, + >. seq F)` N)) e. _V
41	40	climge0 8372	. . 3 |- (((N + 1) e. ZZ /\ (<.(N + 1), + >. seq F) ~~> (A - ((<.M, + >. seq F)` N)) /\ A.j e. (ZZ>=` (N + 1))(((<.(N + 1), + >. seq F)` j) e. RR /\ 0 <_ ((<.(N + 1), + >. seq F)` j))) -> 0 <_ (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
42	3, 12, 39, 41	syl111anc 1100	. 2 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> 0 <_ (A - ((<.M, + >. seq F)` N)))
43		eluzel2 7593	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
44		elfzuz 7658	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (M...j) -> k e. (ZZ>=` M))
45	44, 19	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. (M...j) -> (F` k) e. RR)
46	45	rgen 2159	. . . . . . . 8 |- A.k e. (M...j)(F` k) e. RR
47	4	serzrecl 8310	. . . . . . . 8 |- ((j e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (M...j)(F` k) e. RR) -> ((<.M, + >. seq F)` j) e. RR)
48	46, 47	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, + >. seq F)` j) e. RR)
49	48	rgen 2159	. . . . . 6 |- A.j e. (ZZ>=` M)((<.M, + >. seq F)` j) e. RR
50	5	climrecl 8370	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A /\ A.j e. (ZZ>=` M)((<.M, + >. seq F)` j) e. RR) -> A e. RR)
51	6, 49, 50	mp3an23 1183	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> A e. RR)
52	43, 51	syl 12	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> A e. RR)
53		elfzuz 7658	. . . . . . 7 |- (j e. (M...N) -> j e. (ZZ>=` M))
54	7	ffvelrni 4788	. . . . . . 7 |- (j e. (ZZ>=` M) -> (F` j) e. RR)
55	53, 54	syl 12	. . . . . 6 |- (j e. (M...N) -> (F` j) e. RR)
56	55	rgen 2159	. . . . 5 |- A.j e. (M...N)(F` j) e. RR
57	4	serzrecl 8310	. . . . 5 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.j e. (M...N)(F` j) e. RR) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. RR)
58	56, 57	mpan2 760	. . . 4 |- (N e. (ZZ>=` M) -> ((<.M, + >. seq F)` N) e. RR)
59		subge0 6863	. . . 4 |- ((A e. RR /\ ((<.M, + >. seq F)` N) e. RR) -> (0 <_ (A - ((<.M, + >. seq F)` N)) <-> ((<.M, + >. seq F)` N) <_ A))
60	52, 58, 59	syl11anc 524	. . 3 |- (N e. (ZZ>=` M) -> (0 <_ (A - ((<.M, + >. seq F)` N)) <-> ((<.M, + >. seq F)` N) <_ A))
61	60	adantr 425	. 2 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> (0 <_ (A - ((<.M, + >. seq F)` N)) <-> ((<.M, + >. seq F)` N) <_ A))
62	42, 61	mpbid 212	1 |- ((N e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)0 <_ (F` k)) -> ((<.M, + >. seq F)` N) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  <.cop 3046   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  effsumlei 8662

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain