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Theorem climrlim2 13351
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of  x. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrlim2.2  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
climrlim2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
climrlim2.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrlim2.5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
climrlim2.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
climrlim2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
Assertion
Ref Expression
climrlim2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    C, n    x, D   
x, n, ph    n, Z, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    C( x)    D( n)    M( x, n)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables  j 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
2 eluzelz 11100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3eleq2s 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  e.  ZZ )
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
76sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
87flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
109ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
11 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  x )
127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1312ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
14 flge 11923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1513, 5, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  ( |_ `  x ) )
17 eluz2 11097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  j  <_ 
( |_ `  x
) ) )
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y )
2019ralimi 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )
21 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) ) )
2221oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
)  =  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )
2322fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D ) )  =  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) ) )
2423breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
2524rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  < 
y ) )
2618, 20, 25syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
30 flge 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
317, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  ( |_ `  x
) )
33 eluz2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( |_ `  x
) ) )
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3534, 3syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  Z )
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
3736ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
4039eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  x )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4235, 38, 41sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
4439, 43fvmptg 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  Z  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4535, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4746ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  =  C )
4847oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D )  =  ( C  -  D
) )
4948fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  =  ( abs `  ( C  -  D )
) )
5049breq1d 4447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) )
5126, 50sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
)
5251expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( j  <_  x  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5352com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5453ralrimdva 2861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) )
55 eluzelre 11101 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
5655, 3eleq2s 2551 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
5756adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  RR )
5854, 57jctild 543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
5958expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
6059reximdv2 2914 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  <  y ) ) )
6160ralimdva 2851 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
6261adantld 467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
63 climrel 13296 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
6463brrelexi 5030 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
651, 64syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
66 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
673, 27, 65, 66clim2 13308 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  <->  ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) ) ) )
6842ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
69 climcl 13303 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  D  e.  CC )
701, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7168, 6, 70rlim2 13300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
7262, 67, 713imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  -> 
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
) )
731, 72mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   RR+crp 11230   |_cfl 11908   abscabs 13048    ~~> cli 13288    ~~> r crli 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fl 11910  df-clim 13292  df-rlim 13293
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  23678
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