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Theorem climrlim2 13351
 Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of . (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1
climrlim2.2
climrlim2.3
climrlim2.4
climrlim2.5
climrlim2.6
climrlim2.7
Assertion
Ref Expression
climrlim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2
2 eluzelz 11100 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
42, 3eleq2s 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
109ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14
11 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15
127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 flge 11923 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1513, 5, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
1611, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
17 eluz2 11097 . . . . . . . . . . . . . 14
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
2019ralimi 2836 . . . . . . . . . . . . 13
21 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . 14
2524rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . 13
2618, 20, 25syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30 flge 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
317, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 eluz2 11097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534, 3syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3736ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4039eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4140rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4235, 38, 41sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4439, 43fvmptg 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4535, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14
4948fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13
5049breq1d 4447 . . . . . . . . . . . 12
5126, 50sylibd 214 . . . . . . . . . . 11
5251expr 615 . . . . . . . . . 10
5352com23 78 . . . . . . . . 9
5453ralrimdva 2861 . . . . . . . 8
55 eluzelre 11101 . . . . . . . . . 10
5655, 3eleq2s 2551 . . . . . . . . 9
5756adantl 466 . . . . . . . 8
5854, 57jctild 543 . . . . . . 7
5958expimpd 603 . . . . . 6
6059reximdv2 2914 . . . . 5
6160ralimdva 2851 . . . 4
6261adantld 467 . . 3
63 climrel 13296 . . . . . 6
6463brrelexi 5030 . . . . 5
651, 64syl 16 . . . 4
66 eqidd 2444 . . . 4
673, 27, 65, 66clim2 13308 . . 3
6842ralrimiva 2857 . . . 4
69 climcl 13303 . . . . 5
701, 69syl 16 . . . 4
7168, 6, 70rlim2 13300 . . 3
7262, 67, 713imtr4d 268 . 2
731, 72mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794  cvv 3095   wss 3461   class class class wbr 4437   cmpt 4495  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cr 9494   clt 9631   cle 9632   cmin 9810  cz 10871  cuz 11091  crp 11230  cfl 11908  cabs 13048   cli 13288   crli 13289 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fl 11910  df-clim 13292  df-rlim 13293 This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  23678
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