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Theorem climrlim2 13321
Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of  x. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climrlim2.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrlim2.2  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
climrlim2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
climrlim2.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrlim2.5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
climrlim2.6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
climrlim2.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
Assertion
Ref Expression
climrlim2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    C, n    x, D   
x, n, ph    n, Z, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)    C( x)    D( n)    M( x, n)

Proof of Theorem climrlim2
Dummy variables  j 
y  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrlim2.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D )
2 eluzelz 11082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
3 climrlim2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
42, 3eleq2s 2570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  ZZ )
54ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  e.  ZZ )
6 climrlim2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
76sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
87flcld 11894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
109ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
11 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  x )
127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1312ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
14 flge 11901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1513, 5, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( j  <_  x  <->  j  <_  ( |_ `  x ) ) )
1611, 15mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  j  <_  ( |_ `  x ) )
17 eluz2 11079 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  j  <_ 
( |_ `  x
) ) )
185, 10, 16, 17syl3anbrc 1175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  j ) )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y )
2019ralimi 2852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )
21 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) ) )
2221oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
)  =  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )
2322fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D ) )  =  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) ) )
2423breq1d 4452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( |_ `  x )  ->  (
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
2524rspcv 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  < 
y ) )
2618, 20, 25syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D ) )  <  y ) )
27 climrlim2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
29 climrlim2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  x )
30 flge 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
317, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( M  <_  x  <->  M  <_  ( |_ `  x ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  <_  ( |_ `  x
) )
33 eluz2 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( |_
`  x )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( |_ `  x
) ) )
3428, 8, 32, 33syl3anbrc 1175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3534, 3syl6eleqr 2561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( |_ `  x )  e.  Z )
36 climrlim2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
3736ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  B  e.  CC )
39 climrlim2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  B  =  C )
4039eleq1d 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( |_ `  x )  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  x )  e.  Z  ->  ( A. n  e.  Z  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4235, 38, 41sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
4439, 43fvmptg 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  Z  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4535, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  =  C )
4746ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  =  C )
4847oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_ `  x ) )  -  D )  =  ( C  -  D
) )
4948fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 ( |_ `  x ) )  -  D ) )  =  ( abs `  ( C  -  D )
) )
5049breq1d 4452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  ( |_
`  x ) )  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) )
5126, 50sylibd 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  ( x  e.  A  /\  j  <_  x ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
)
5251expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( j  <_  x  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5352com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  A
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
5453ralrimdva 2877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) )
55 eluzelre 11083 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  RR )
5655, 3eleq2s 2570 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Z  ->  j  e.  RR )
5756adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  j  e.  RR )
5854, 57jctild 543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
5958expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( (
j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( j  e.  RR  /\  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D
) )  <  y
) ) ) )
6059reximdv2 2929 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  -  D ) )  <  y )  ->  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D ) )  <  y ) ) )
6160ralimdva 2867 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  -  D
) )  <  y
)  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
6261adantld 467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
63 climrel 13266 . . . . . 6  |-  Rel  ~~>
6463brrelexi 5034 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
651, 64syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
66 eqidd 2463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
673, 27, 65, 66clim2 13278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  <->  ( D  e.  CC  /\  A. y  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k )  -  D ) )  < 
y ) ) ) )
6842ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  C  e.  CC )
69 climcl 13273 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  ->  D  e.  CC )
701, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
7168, 6, 70rlim2 13270 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  A. y  e.  RR+  E. j  e.  RR  A. x  e.  A  ( j  <_  x  ->  ( abs `  ( C  -  D )
)  <  y )
) )
7262, 67, 713imtr4d 268 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  D  -> 
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
) )
731, 72mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211   |_cfl 11886   abscabs 13019    ~~> cli 13258    ~~> r crli 13259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fl 11888  df-clim 13262  df-rlim 13263
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  23425
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