Theorem climresi 8365

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges.

Hypotheses

Ref	Expression
climshft.1	|- F e. _V
climshft.2	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climresi	|- (A e. B -> ((F |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> F ~~> A))

Proof of Theorem climresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcl 8238	. 2 |- ((A e. B /\ (F |` (ZZ>=` M)) ~~> A) -> A e. CC)
2		climcl 8238	. 2 |- ((A e. B /\ F ~~> A) -> A e. CC)
3		0z 7355	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
4		uzssz 7599	. . . . 5 |- (ZZ>=` 0) C_ ZZ
5		ssid 2634	. . . . 5 |- ZZ C_ ZZ
6		climshft.2	. . . . 5 |- M e. ZZ
7		ssid 2634	. . . . 5 |- (ZZ>=` M) C_ (ZZ>=` M)
8		uzssz 7599	. . . . 5 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
9		climshft.1	. . . . . 6 |- F e. _V
10		resexg 4250	. . . . . 6 |- (F e. _V -> (F |` (ZZ>=` M)) e. _V)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F |` (ZZ>=` M)) e. _V
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 11	clm2i 8338	. . . 4 |- (A e. CC -> ((F |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x)))))
13		fvres 4691	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. (ZZ>=` M) -> ((F |` (ZZ>=` M))` t) = (F` t))
14	13	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC <-> (F` t) e. CC))
15	13	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A) = ((F` t) - A))
16	15	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) = (abs` ((F` t) - A)))
17	16	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- (t e. (ZZ>=` M) -> ((abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x <-> (abs` ((F` t) - A)) < x))
18	14, 17	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (t e. (ZZ>=` M) -> ((((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x) <-> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))
19	18	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (t e. (ZZ>=` M) -> ((j <_ t -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x)) <-> (j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x))))
20	19	ralbiia 2133	. . . . . . 7 |- (A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x)) <-> A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))
21	20	rexbii 2128	. . . . . 6 |- (E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x)) <-> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))
22	21	imbi2i 202	. . . . 5 |- ((0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x))))
23	22	ralbii 2127	. . . 4 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> (((F |` (ZZ>=` M))` t) e. CC /\ (abs` (((F |` (ZZ>=` M))` t) - A)) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x))))
24	12, 23	syl6bb 595	. . 3 |- (A e. CC -> ((F |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))))
25	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	clm2i 8338	. . 3 |- (A e. CC -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(j <_ t -> ((F` t) e. CC /\ (abs` ((F` t) - A)) < x)))))
26	24, 25	bitr4d 590	. 2 |- (A e. CC -> ((F |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> F ~~> A))
27	1, 2, 26	pm5.21nd 744	1 |- (A e. B -> ((F |` (ZZ>=` M)) ~~> A <-> F ~~> A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climshft2i 8366  climuz0i 8368  iserzshfti 8404

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain