HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem climrecl 8370
Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172.
Hypothesis
Ref Expression
climrecl.1 |- A e. _V
Assertion
Ref Expression
climrecl |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) -> A e. RR)
Distinct variable groups:   k,F   k,M
Proof of Theorem climrecl
StepHypRef Expression
1 climrecl.1 . . . 4 |- A e. _V
2 climcl 8238 . . . 4 |- ((A e. _V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
31, 2mpan 759 . . 3 |- (F ~~> A -> A e. CC)
433ad2ant2 898 . 2 |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) -> A e. CC)
5 eqlelt 6689 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (abs` (Im` A)) e. RR) -> (0 = (abs` (Im` A)) <-> (0 <_ (abs` (Im` A)) /\ -. 0 < (abs` (Im` A)))))
6 0re 6603 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
7 imcl 8008 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
87recnd 6468 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
9 abscl 8084 . . . . . . . . 9 |- ((Im` A) e. CC -> (abs` (Im` A)) e. RR)
108, 9syl 12 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (abs` (Im` A)) e. RR)
115, 6, 10sylancr 526 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (0 = (abs` (Im` A)) <-> (0 <_ (abs` (Im` A)) /\ -. 0 < (abs` (Im` A)))))
1211adantl 424 . . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> (0 = (abs` (Im` A)) <-> (0 <_ (abs` (Im` A)) /\ -. 0 < (abs` (Im` A)))))
13 absge0 8105 . . . . . . . 8 |- ((Im` A) e. CC -> 0 <_ (abs` (Im` A)))
148, 13syl 12 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` (Im` A)))
1514adantl 424 . . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> 0 <_ (abs` (Im` A)))
16 eluzelz 7592 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (j e. (ZZ>=` M) -> j e. ZZ)
1716ad2antlr 441 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((F` j) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) /\ A e. CC) -> j e. ZZ)
18 zre 7348 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j e. ZZ -> j e. RR)
19 leid 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (j e. RR -> j <_ j)
2016, 18, 193syl 24 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (j e. (ZZ>=` M) -> j <_ j)
2120ad2antlr 441 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((F` j) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) /\ A e. CC) -> j <_ j)
22 absneg 8083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((Im` A) e. CC -> (abs` -u(Im` A)) = (abs` (Im` A)))
238, 22syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A e. CC -> (abs` -u(Im` A)) = (abs` (Im` A)))
2423adantl 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` -u(Im` A)) = (abs` (Im` A)))
25 reim0 8024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((F` j) e. RR -> (Im` (F` j)) = 0)
2625opreq1d 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F` j) e. RR -> ((Im` (F` j)) - (Im` A)) = (0 - (Im` A)))
27 df-neg 6513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u(Im` A) = (0 - (Im` A))
2826, 27syl6reqr 1947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F` j) e. RR -> -u(Im` A) = ((Im` (F` j)) - (Im` A)))
2928adantr 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> -u(Im` A) = ((Im` (F` j)) - (Im` A)))
30 imsub 8059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F` j) e. CC /\ A e. CC) -> (Im` ((F` j) - A)) = ((Im` (F` j)) - (Im` A)))
31 recn 6466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F` j) e. RR -> (F` j) e. CC)
3230, 31sylan 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (Im` ((F` j) - A)) = ((Im` (F` j)) - (Im` A)))
3329, 32eqtr4d 1928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> -u(Im` A) = (Im` ((F` j) - A)))
3433fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` -u(Im` A)) = (abs` (Im` ((F` j) - A))))
3524, 34eqtr3d 1927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` (Im` A)) = (abs` (Im` ((F` j) - A))))
36 subcl 6524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` j) e. CC /\ A e. CC) -> ((F` j) - A) e. CC)
3736, 31sylan 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> ((F` j) - A) e. CC)
38 absimle 8122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` j) - A) e. CC -> (abs` (Im` ((F` j) - A))) <_ (abs` ((F` j) - A)))
3937, 38syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` (Im` ((F` j) - A))) <_ (abs` ((F` j) - A)))
4035, 39eqbrtrd 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` (Im` A)) <_ (abs` ((F` j) - A)))
4110adantl 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` (Im` A)) e. RR)
42 abscl 8084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` j) - A) e. CC -> (abs` ((F` j) - A)) e. RR)
4337, 42syl 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> (abs` ((F` j) - A)) e. RR)
44 lenlt 6679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((abs` (Im` A)) e. RR /\ (abs` ((F` j) - A)) e. RR) -> ((abs` (Im` A)) <_ (abs` ((F` j) - A)) <-> -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A))))
4541, 43, 44syl11anc 524 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> ((abs` (Im` A)) <_ (abs` ((F` j) - A)) <-> -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A))))
4640, 45mpbid 212 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` j) e. RR /\ A e. CC) -> -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A)))
4746adantlr 429 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((((F` j) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) /\ A e. CC) -> -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A)))
48 breq2 3342 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m = j -> (j <_ m <-> j <_ j))
49 fveq2 4681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m = j -> (F` m) = (F` j))
5049opreq1d 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m = j -> ((F` m) - A) = ((F` j) - A))
5150fveq2d 4685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m = j -> (abs` ((F` m) - A)) = (abs` ((F` j) - A)))
5251breq1d 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (m = j -> ((abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)) <-> (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A))))
5352notbid 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m = j -> (-. (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)) <-> -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A))))
5448, 53anbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (m = j -> ((j <_ m /\ -. (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))) <-> (j <_ j /\ -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A)))))
5554rcla4ev 2381 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((j e. ZZ /\ (j <_ j /\ -. (abs` ((F` j) - A)) < (abs` (Im` A)))) -> E.m e. ZZ (j <_ m /\ -. (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
5617, 21, 47, 55syl12anc 1098 . . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` j) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) /\ A e. CC) -> E.m e. ZZ (j <_ m /\ -. (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
57 rexanali 2144 . . . . . . . . . . . 12 |- (E.m e. ZZ (j <_ m /\ -. (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))) <-> -. A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
5856, 57sylib 215 . . . . . . . . . . 11 |- ((((F` j) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) /\ A e. CC) -> -. A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
59 fveq2 4681 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (k = j -> (F` k) = (F` j))
6059eleq1d 1963 . . . . . . . . . . . . 13 |- (k = j -> ((F` k) e. RR <-> (F` j) e. RR))
6160rcla4cva 2379 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) -> (F` j) e. RR)
62 simpr 350 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) -> j e. (ZZ>=` M))
6361, 62jca 310 . . . . . . . . . . 11 |- ((A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) -> ((F` j) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)))
6458, 63sylan 497 . . . . . . . . . 10 |- (((A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ j e. (ZZ>=` M)) /\ A e. CC) -> -. A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
6564an1rs 547 . . . . . . . . 9 |- (((A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ A e. CC) /\ j e. (ZZ>=` M)) -> -. A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
6665nrexdv 2193 . . . . . . . 8 |- ((A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR /\ A e. CC) -> -. E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
67663ad2antl3 1040 . . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> -. E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
6810ad2antrl 442 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. ZZ /\ (A e. CC /\ F ~~> A)) -> (abs` (Im` A)) e. RR)
69 clmi2a 8351 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ ((A e. CC /\ F ~~> A) /\ ((abs` (Im` A)) e. RR /\ 0 < (abs` (Im` A))))) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
7069anassrs 489 . . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. ZZ /\ (A e. CC /\ F ~~> A)) /\ ((abs` (Im` A)) e. RR /\ 0 < (abs` (Im` A)))) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A))))
7170expr 418 . . . . . . . . . . 11 |- (((M e. ZZ /\ (A e. CC /\ F ~~> A)) /\ (abs` (Im` A)) e. RR) -> (0 < (abs` (Im` A)) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)))))
7268, 71mpdan 768 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. ZZ /\ (A e. CC /\ F ~~> A)) -> (0 < (abs` (Im` A)) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)))))
7372anassrs 489 . . . . . . . . 9 |- (((M e. ZZ /\ A e. CC) /\ F ~~> A) -> (0 < (abs` (Im` A)) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)))))
7473an1rs 547 . . . . . . . 8 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A) /\ A e. CC) -> (0 < (abs` (Im` A)) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)))))
75743adantl3 1034 . . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> (0 < (abs` (Im` A)) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.m e. ZZ (j <_ m -> (abs` ((F` m) - A)) < (abs` (Im` A)))))
7667, 75mtod 123 . . . . . 6 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> -. 0 < (abs` (Im` A)))
7712, 15, 76mpbir2and 802 . . . . 5 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> 0 = (abs` (Im` A)))
7877eqcomd 1889 . . . 4 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> (abs` (Im` A)) = 0)
79 abs00 8104 . . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> ((abs` (Im` A)) = 0 <-> (Im` A) = 0))
808, 79syl 12 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((abs` (Im` A)) = 0 <-> (Im` A) = 0))
8180adantl 424 . . . 4 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> ((abs` (Im` A)) = 0 <-> (Im` A) = 0))
8278, 81mpbid 212 . . 3 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> (Im` A) = 0)
83 reim0b 8025 . . . 4 |- (A e. CC -> (A e. RR <-> (Im` A) = 0))
8483adantl 424 . . 3 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> (A e. RR <-> (Im` A) = 0))
8582, 84mpbird 213 . 2 |- (((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) /\ A e. CC) -> A e. RR)
864, 85mpdan 768 1 |- ((M e. ZZ /\ F ~~> A /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. RR) -> A e. RR)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445  -ucneg 6446   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  Imcim 7998  abscabs 8000   ~~> cli 8234
This theorem is referenced by:  climfnrcli 8371  climge0 8372  climcmplem 8397  climsqueeze 8400  climsqueeze2 8401  climserzlei 8407  isumrecl 8471
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235
Copyright terms: Public domain