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Theorem climrec 37778
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrec.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrec.3  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climrec.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
climrec.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
climrec.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
climrec.7  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
Assertion
Ref Expression
climrec  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  /  A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, G    k, H    k, Z
Allowed substitution hints:    M( k)    W( k)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climrec.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climrec.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
4 climcl 13640 . . . . 5  |-  ( G  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6 climrec.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
76neneqd 2648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
8 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
98elsnc2 3991 . . . . 5  |-  ( A  e.  { 0 }  <-> 
A  =  0 )
107, 9sylnibr 312 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
115, 10eldifd 3401 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
12 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
13 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  w  =  z )  ->  w  =  z )
1413oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  w  =  z )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  z
) )
15 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
1615eldifad 3402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  e.  CC )
17 eldifsni 4089 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
1817adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  =/=  0 )
1916, 18reccld 10398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2012, 14, 15, 19fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  =  ( 1  / 
z ) )
2120, 19eqeltrd 2549 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  e.  CC )
22 climrec.7 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
23 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  x ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  x ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  x ) ,  1 ,  ( ( abs `  A )  x.  x
) )  x.  (
( abs `  A
)  /  2 ) )
2423reccn2 13737 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) )
2511, 24sylan 479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) )
26 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) )
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  =  z )  ->  w  =  z )
2827oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  =  z )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
z ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
30 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
3130, 17reccld 10398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
3226, 28, 29, 31fvmptd 5969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  =  ( 1  /  z ) )
3332ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  =  ( 1  /  z ) )
34 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  w  =  A )
3635oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  A ) )
375, 6reccld 10398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
3834, 36, 11, 37fvmptd 5969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  A )  =  ( 1  /  A ) )
3938ad4antr 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
4033, 39oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 A ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
4140fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) ) )
4229ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
43 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )
44 simpllr 777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )
4542, 43, 44mp2d 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )
4641, 45eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x )
4746exp41 621 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
z )  -  (
1  /  A ) ) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  -  ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  A ) ) )  <  x ) ) ) )
4847ralimdv2 2804 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 A ) ) )  <  x ) ) )
4948reximdv 2857 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x ) ) )
5025, 49mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x ) )
51 climrec.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
52 climrec.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
53 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
54 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  k )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
5554adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  w  =  ( G `  k ) )  -> 
( 1  /  w
)  =  ( 1  /  ( G `  k ) ) )
5651eldifad 3402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
57 eldifsni 4089 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  k )  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( G `  k )  =/=  0
)
5851, 57syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =/=  0 )
5956, 58reccld 10398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  /  ( G `
 k ) )  e.  CC )
6053, 55, 51, 59fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 ( G `  k ) )  =  ( 1  /  ( G `  k )
) )
6152, 60eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  ( G `  k )
) )
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 13732 . 2  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) )
6362, 38breqtrd 4420 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    \ cdif 3387   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   abscabs 13374    ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629
This theorem is referenced by:  climrecf  37785  wallispi  38044
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