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Theorem climrec 37675
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrec.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrec.3  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climrec.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
climrec.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
climrec.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
climrec.7  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
Assertion
Ref Expression
climrec  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  /  A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, G    k, H    k, Z
Allowed substitution hints:    M( k)    W( k)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climrec.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climrec.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
4 climcl 13556 . . . . 5  |-  ( G  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6 climrec.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
76neneqd 2628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
8 c0ex 9634 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
98elsnc2 3998 . . . . 5  |-  ( A  e.  { 0 }  <-> 
A  =  0 )
107, 9sylnibr 307 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
115, 10eldifd 3414 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
12 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
13 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  w  =  z )  ->  w  =  z )
1413oveq2d 6304 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  w  =  z )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  z
) )
15 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
1615eldifad 3415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  e.  CC )
17 eldifsni 4097 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
1817adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  =/=  0 )
1916, 18reccld 10373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2012, 14, 15, 19fvmptd 5952 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  =  ( 1  / 
z ) )
2120, 19eqeltrd 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  e.  CC )
22 climrec.7 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
23 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  x ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  x ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  x ) ,  1 ,  ( ( abs `  A )  x.  x
) )  x.  (
( abs `  A
)  /  2 ) )
2423reccn2 13653 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) )
2511, 24sylan 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) )
26 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) )
27 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  =  z )  ->  w  =  z )
2827oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  =  z )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
z ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
30 eldifi 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
3130, 17reccld 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
3226, 28, 29, 31fvmptd 5952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  =  ( 1  /  z ) )
3332ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  =  ( 1  /  z ) )
34 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
35 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  w  =  A )
3635oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  A ) )
375, 6reccld 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
3834, 36, 11, 37fvmptd 5952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  A )  =  ( 1  /  A ) )
3938ad4antr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
4033, 39oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 A ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
4140fveq2d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) ) )
4229ad2antlr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
43 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )
44 simpllr 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )
4542, 43, 44mp2d 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )
4641, 45eqbrtrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x )
4746exp41 614 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
z )  -  (
1  /  A ) ) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  -  ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  A ) ) )  <  x ) ) ) )
4847ralimdv2 2794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 A ) ) )  <  x ) ) )
4948reximdv 2860 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x ) ) )
5025, 49mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x ) )
51 climrec.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
52 climrec.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
53 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
54 oveq2 6296 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  k )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
5554adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  w  =  ( G `  k ) )  -> 
( 1  /  w
)  =  ( 1  /  ( G `  k ) ) )
5651eldifad 3415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
57 eldifsni 4097 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  k )  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( G `  k )  =/=  0
)
5851, 57syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =/=  0 )
5956, 58reccld 10373 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  /  ( G `
 k ) )  e.  CC )
6053, 55, 51, 59fvmptd 5952 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 ( G `  k ) )  =  ( 1  /  ( G `  k )
) )
6152, 60eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  ( G `  k )
) )
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 13648 . 2  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) )
6362, 38breqtrd 4426 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3400   ifcif 3880   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   2c2 10656   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   abscabs 13290    ~~> cli 13541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545
This theorem is referenced by:  climrecf  37682  wallispi  37926
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