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Theorem climrec 27596
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climrec.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climrec.3  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climrec.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
climrec.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
climrec.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
climrec.7  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
Assertion
Ref Expression
climrec  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  /  A ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    k, G    k, H    k, Z
Allowed substitution hints:    M( k)    W( k)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climrec.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climrec.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
4 climcl 12248 . . . . 5  |-  ( G  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6 climrec.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
76neneqd 2583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  A  =  0 )
8 c0ex 9041 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
98elsnc2 3803 . . . . 5  |-  ( A  e.  { 0 }  <-> 
A  =  0 )
107, 9sylnibr 297 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  {
0 } )
115, 10eldifd 3291 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
12 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  w  =  z )  ->  w  =  z )
1413oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  w  =  z )  ->  ( 1  /  w )  =  ( 1  /  z
) )
15 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
1615eldifad 3292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  e.  CC )
17 eldifsni 3888 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
1817adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
z  =/=  0 )
1916, 18reccld 9739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  /  z
)  e.  CC )
2012, 14, 15, 19fvmptd 5769 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  =  ( 1  / 
z ) )
2120, 19eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  e.  CC )
22 climrec.7 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
23 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  x ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  x ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  x ) ,  1 ,  ( ( abs `  A )  x.  x
) )  x.  (
( abs `  A
)  /  2 ) )
2423reccn2 12345 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) )
2511, 24sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) )
26 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) )
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  =  z )  ->  w  =  z )
2827oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  w  =  z )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
z ) )
29 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
30 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  e.  CC )
3130, 17reccld 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  / 
z )  e.  CC )
3226, 28, 29, 31fvmptd 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  =  ( 1  /  z ) )
3332ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  =  ( 1  /  z ) )
34 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
35 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  w  =  A )
3635oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  =  A )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  /  A ) )
375, 6reccld 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
3834, 36, 11, 37fvmptd 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  A )  =  ( 1  /  A ) )
3938ad4antr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
)  =  ( 1  /  A ) )
4033, 39oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 A ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
4140fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) ) )
4229ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  z  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
43 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )
44 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )
4542, 43, 44mp2d 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )
4641, 45eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x ) ) )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  /\  ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x )
4746exp41 594 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( 1  / 
z )  -  (
1  /  A ) ) )  <  x
) )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  z
)  -  ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  A ) ) )  <  x ) ) ) )
4847ralimdv2 2746 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )  ->  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A ) )  <  y  ->  ( abs `  ( ( ( w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 A ) ) )  <  x ) ) )
4948reximdv 2777 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  x )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x ) ) )
5025, 49mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( ( w  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `  z )  -  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) ) )  < 
x ) )
51 climrec.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
52 climrec.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
53 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
w  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) )  =  ( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) )
54 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( G `  k )  ->  (
1  /  w )  =  ( 1  / 
( G `  k
) ) )
5554adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  w  =  ( G `  k ) )  -> 
( 1  /  w
)  =  ( 1  /  ( G `  k ) ) )
5651eldifad 3292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
57 eldifsni 3888 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  k )  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( G `  k )  =/=  0
)
5851, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =/=  0 )
5956, 58reccld 9739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
1  /  ( G `
 k ) )  e.  CC )
6053, 55, 51, 59fvmptd 5769 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( w  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  w ) ) `
 ( G `  k ) )  =  ( 1  /  ( G `  k )
) )
6152, 60eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  ( G `  k )
) )
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 12340 . 2  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( ( w  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  w
) ) `  A
) )
6362, 38breqtrd 4196 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277   ifcif 3699   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   abscabs 11994    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  climrecf  27602  wallispi  27686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237
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