MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climre Unicode version

Theorem climre 11956
Description: Limit of the real part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn1lem.2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climcn1lem.4  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
climcn1lem.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn1lem.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
climre.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( Re `  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climre  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( Re `  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, G    ph, k    k, Z    k, M
Allowed substitution hint:    W( k)

Proof of Theorem climre
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climcn1lem.2 . 2  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
3 climcn1lem.4 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
4 climcn1lem.5 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 climcn1lem.6 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
6 ref 11474 . . 3  |-  Re : CC
--> RR
7 ax-resscn 8674 . . 3  |-  RR  C_  CC
8 fss 5254 . . 3  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  Re : CC --> CC )
96, 7, 8mp2an 656 . 2  |-  Re : CC
--> CC
10 recn2 11951 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  CC  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( Re `  z
)  -  ( Re
`  A ) ) )  <  x ) )
11 climre.7 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( Re `  ( F `  k ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11climcn1lem 11953 1  |-  ( ph  ->  G  ~~>  ( Re `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   -->wf 4588   ` cfv 4592   CCcc 8615   RRcr 8616   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109   Recre 11459    ~~> cli 11835
This theorem is referenced by:  mbflim  18855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839
  Copyright terms: Public domain W3C validator