Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climneg Structured version   Unicode version

Theorem climneg 37309
 Description: Complex limit of the negative of a sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climneg.1
climneg.2
climneg.3
climneg.4
climneg.5
climneg.6
Assertion
Ref Expression
climneg
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climneg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climneg.1 . . 3
2 nfmpt1 4506 . . 3
3 climneg.2 . . 3
4 nfmpt1 4506 . . 3
5 climneg.3 . . 3
6 climneg.4 . . 3
7 fvex 5882 . . . . . . 7
85, 7eqeltri 2504 . . . . . 6
98mptex 6142 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 1cnd 9648 . . . . 5
1211negcld 9962 . . . 4
13 eqidd 2421 . . . . . 6
14 eqidd 2421 . . . . . 6
15 id 23 . . . . . 6
16 1cnd 9648 . . . . . . 7
1716negcld 9962 . . . . . 6
1813, 14, 15, 17fvmptd 5961 . . . . 5
1918adantl 467 . . . 4
205, 6, 10, 12, 19climconst 13574 . . 3
218mptex 6142 . . . 4
2221a1i 11 . . 3
23 climneg.5 . . 3
24 neg1cn 10702 . . . . . 6
25 eqid 2420 . . . . . . 7
2625fvmpt2 5964 . . . . . 6
2724, 26mpan2 675 . . . . 5
2827, 24syl6eqel 2516 . . . 4
30 climneg.6 . . 3
31 simpr 462 . . . . 5
3230negcld 9962 . . . . 5
33 eqid 2420 . . . . . 6
3433fvmpt2 5964 . . . . 5
3531, 32, 34syl2anc 665 . . . 4
3630mulm1d 10059 . . . 4
3727eqcomd 2428 . . . . . 6
3837adantl 467 . . . . 5
3938oveq1d 6311 . . . 4
4035, 36, 393eqtr2d 2467 . . 3
411, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 22, 23, 29, 30, 40climmulf 37302 . 2
42 climcl 13530 . . . 4
4323, 42syl 17 . . 3
4443mulm1d 10059 . 2
4541, 44breqtrd 4441 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437  wnf 1663   wcel 1867  wnfc 2568  cvv 3078   class class class wbr 4417   cmpt 4475  cfv 5592  (class class class)co 6296  cc 9526  c1 9529   cmul 9533  cneg 9850  cz 10926  cuz 11148   cli 13515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12200  df-exp 12259  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator