Theorem climmullem8 8387

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Hypotheses

Ref	Expression
climmul.1	|- F e. _V
climmul.2	|- G e. _V
climmul.3	|- H e. _V
climmul.4	|- A e. _V
climmul.5	|- B e. _V
climmullem.6	|- (ph <-> ((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) x. (G` k)))))

Assertion

Ref	Expression
climmullem8	|- ((M e. ZZ /\ ph) -> H ~~> (A x. B))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,H   k,M

Proof of Theorem climmullem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmullem2 8381	. . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))))
2		climmul.1	. . . . . . . . . . 11 |- F e. _V
3		climmul.2	. . . . . . . . . . 11 |- G e. _V
4		climmul.3	. . . . . . . . . . 11 |- H e. _V
5		climmul.4	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
6		climmul.5	. . . . . . . . . . 11 |- B e. _V
7		climmullem.6	. . . . . . . . . . 11 |- (ph <-> ((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) x. (G` k)))))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	climmullem7 8386	. . . . . . . . . 10 |- (ph -> (A e. CC /\ B e. CC))
9	8	simprd 352	. . . . . . . . 9 |- (ph -> B e. CC)
10	1, 9	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))))
11		climmullem1 8380	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))
12	8	simplld 348	. . . . . . . . 9 |- (ph -> A e. CC)
13	11, 12	sylan 497	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))
14	10, 13	jca 310	. . . . . . 7 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
15		0z 7355	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
16		ssid 2634	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ZZ>=` 0) C_ (ZZ>=` 0)
17		uzssz 7599	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
18	15, 16, 17	clmi2i 8347	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. _V /\ F ~~> A) /\ ((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))))) -> E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))))
19	5, 18	mpanl1 770	. . . . . . . . . . 11 |- ((F ~~> A /\ ((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))))) -> E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))))
20	15, 16, 17	clmi2i 8347	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. _V /\ G ~~> B) /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))
21	6, 20	mpanl1 770	. . . . . . . . . . 11 |- ((G ~~> B /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))
22	19, 21	anim12i 360	. . . . . . . . . 10 |- (((F ~~> A /\ ((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))))) /\ (G ~~> B /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) -> (E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
23	22	an4s 566	. . . . . . . . 9 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ (((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) -> (E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
24	23	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) x. (G` k)))) /\ (((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) -> (E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
25	24, 7	sylanb 498	. . . . . . 7 |- ((ph /\ (((1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) e. RR /\ 0 < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (((v / 2) / (1 + (abs` A))) e. RR /\ 0 < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) -> (E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
26	14, 25	syldan 516	. . . . . 6 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
27		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> t e. (ZZ>=` M))
28		nn0addge1 7339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ f e. NN0) -> u <_ (u + f))
29		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (u e. NN0 -> u e. RR)
30	28, 29	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> u <_ (u + f))
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. RR) -> u <_ (u + f))
32		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ (u + f) e. RR /\ t e. RR) -> ((u <_ (u + f) /\ (u + f) <_ t) -> u <_ t))
33	32	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((u e. RR /\ (u + f) e. RR) /\ t e. RR) -> ((u <_ (u + f) /\ (u + f) <_ t) -> u <_ t))
34		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> u e. RR)
35		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> (u + f) e. RR)
36	34, 35	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> (u e. RR /\ (u + f) e. RR))
37		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (f e. NN0 -> f e. RR)
38	36, 29, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (u e. RR /\ (u + f) e. RR))
39	33, 38	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. RR) -> ((u <_ (u + f) /\ (u + f) <_ t) -> u <_ t))
40	31, 39	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. RR) -> ((u + f) <_ t -> u <_ t))
41		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (t e. (ZZ>=` M) -> t e. ZZ)
42		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (t e. ZZ -> t e. RR)
43	41, 42	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (t e. (ZZ>=` M) -> t e. RR)
44	40, 43	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> u <_ t))
45	44	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> u <_ t))
46		nn0addge2 7340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((f e. RR /\ u e. NN0) -> f <_ (u + f))
47	46	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. NN0 /\ f e. RR) -> f <_ (u + f))
48	47, 37	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> f <_ (u + f))
49	48	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. RR) -> f <_ (u + f))
50		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((f e. RR /\ (u + f) e. RR /\ g e. RR) -> ((f <_ (u + f) /\ (u + f) <_ g) -> f <_ g))
51	50	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((f e. RR /\ (u + f) e. RR) /\ g e. RR) -> ((f <_ (u + f) /\ (u + f) <_ g) -> f <_ g))
52		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> f e. RR)
53	52, 35	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> (f e. RR /\ (u + f) e. RR))
54	53, 29, 37	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (f e. RR /\ (u + f) e. RR))
55	51, 54	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. RR) -> ((f <_ (u + f) /\ (u + f) <_ g) -> f <_ g))
56	49, 55	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. RR) -> ((u + f) <_ g -> f <_ g))
57		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (g e. (ZZ>=` M) -> g e. ZZ)
58		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (g e. ZZ -> g e. RR)
59	57, 58	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (g e. (ZZ>=` M) -> g e. RR)
60	56, 59	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ g -> f <_ g))
61	60	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ g -> f <_ g))
62	45, 61	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> (((u + f) <_ t /\ (u + f) <_ g) -> (u <_ t /\ f <_ g)))
63		prth 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((u <_ t /\ f <_ g) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
64	62, 63	syl9 71	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> (((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> (((u + f) <_ t /\ (u + f) <_ g) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
65	64	exp4a 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> (((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))))
66	65	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))))
67		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (g = t -> ((u + f) <_ g <-> (u + f) <_ t))
68		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (g = t -> (G` g) = (G` t))
69	68	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (g = t -> ((G` g) - B) = ((G` t) - B))
70	69	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (g = t -> (abs` ((G` g) - B)) = (abs` ((G` t) - B)))
71	70	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (g = t -> ((abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))) <-> (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))
72	71	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (g = t -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) <-> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
73	67, 72	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (g = t -> (((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) <-> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
74	73	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
75	74	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t e. (ZZ>=` M) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
76	75	a2d 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (((u + f) <_ t -> A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
77		r19.21v 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) <-> ((u + f) <_ t -> A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
78	76, 77	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
79	27, 66, 78	sylsyld 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
80	79	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
81	80	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))))))
82		climmullem5 8384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B))) < v))
83	82	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B))) < v))
84	2, 3, 4, 5, 6, 7	climmullem6 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC /\ (H` t) = ((F` t) x. (G` t))))
85	84	simp1d 888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (F` t) e. CC)
86	84	simp2d 889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (G` t) e. CC)
87	8	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (A e. CC /\ B e. CC))
88	85, 86, 87	jca31 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)))
89	83, 88	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B))) < v))
90	89	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B))) < v))
91	84	simp3d 890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (H` t) = ((F` t) x. (G` t)))
92	91	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> (H` t) = ((F` t) x. (G` t)))
93	92	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> ((H` t) - (A x. B)) = (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B)))
94	93	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) = (abs` (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B))))
95	94	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> ((abs` ((H` t) - (A x. B))) < v <-> (abs` (((F` t) x. (G` t)) - (A x. B))) < v))
96	90, 95	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ (v e. RR /\ 0 < v))) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))
97	96	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))
98	97	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
99	98	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (((abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B)))))) /\ (abs` ((G` t) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A)))) -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
100	81, 99	syldd 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
101	100	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> ((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
102	101	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
103		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (h = (u + f) -> (h <_ t <-> (u + f) <_ t))
104	103	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (h = (u + f) -> ((h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v) <-> ((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
105	104	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (h = (u + f) -> (A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v) <-> A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
106	105	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((u + f) e. ZZ /\ A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))
107		nn0addcl 7329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (u + f) e. NN0)
108		nn0z 7363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((u + f) e. NN0 -> (u + f) e. ZZ)
109	107, 108	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (u + f) e. ZZ)
110	106, 109	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))
111	110	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
112	111	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
113	102, 112	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
114		raaanv 2977	. . . . . . . . . . 11 |- (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) <-> (A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
115	113, 114	syl5ibr 224	. . . . . . . . . 10 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> ((A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
116	115	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> ((A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))))
117		elnn0uz 7610	. . . . . . . . . 10 |- (u e. NN0 <-> u e. (ZZ>=` 0))
118		elnn0uz 7610	. . . . . . . . . 10 |- (f e. NN0 <-> f e. (ZZ>=` 0))
119	117, 118	anbi12i 540	. . . . . . . . 9 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) <-> (u e. (ZZ>=` 0) /\ f e. (ZZ>=` 0)))
120	116, 119	syl5ibr 224	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((u e. (ZZ>=` 0) /\ f e. (ZZ>=` 0)) -> ((A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))))
121	120	r19.23advv 2218	. . . . . . 7 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.u e. (ZZ>=` 0)E.f e. (ZZ>=` 0)(A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
122		reeanv 2249	. . . . . . 7 |- (E.u e. (ZZ>=` 0)E.f e. (ZZ>=` 0)(A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) <-> (E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))))
123	121, 122	syl5ibr 224	. . . . . 6 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((E.u e. (ZZ>=` 0)A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (1 / (1 + (1 / ((v / 2) / (1 + (abs` B))))))) /\ E.f e. (ZZ>=` 0)A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < ((v / 2) / (1 + (abs` A))))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
124	26, 123	mpd 29	. . . . 5 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))
125	124	exp32 408	. . . 4 |- (ph -> (v e. RR -> (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))))
126	125	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (ph -> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
127	126	adantl 424	. 2 |- ((M e. ZZ /\ ph) -> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v)))
128	4	clm4a 8350	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ (A x. B) e. CC /\ A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC) -> (H ~~> (A x. B) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))))
129	128	3expb 1068	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ ((A x. B) e. CC /\ A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC)) -> (H ~~> (A x. B) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))))
130		mulcl 6456	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
131	8, 130	syl 12	. . . 4 |- (ph -> (A x. B) e. CC)
132		mulcl 6456	. . . . . . . 8 |- (((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC) -> ((F` t) x. (G` t)) e. CC)
133	85, 86, 132	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((F` t) x. (G` t)) e. CC)
134	91, 133	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (H` t) e. CC)
135	134	expcom 403	. . . . 5 |- (ph -> (t e. (ZZ>=` M) -> (H` t) e. CC))
136	135	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (ph -> A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC)
137	131, 136	jca 310	. . 3 |- (ph -> ((A x. B) e. CC /\ A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC))
138	129, 137	sylan2 500	. 2 |- ((M e. ZZ /\ ph) -> (H ~~> (A x. B) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A x. B))) < v))))
139	127, 138	mpbird 213	1 |- ((M e. ZZ /\ ph) -> H ~~> (A x. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climmul 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

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