MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem climmpt 13628
Description: Exhibit a function  G with the same convergence properties as the not-quite-function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climmpt.2  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climmpt  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, Z
Allowed substitution hints:    G( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 simpr 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
3 climmpt.2 . . . 4  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
4 fvex 5873 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2524 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
65mptex 6134 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  e.  _V
73, 6eqeltri 2524 . . 3  |-  G  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  G  e.  _V )
9 simpl 459 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  M  e.  ZZ )
10 fveq2 5863 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
11 fvex 5873 . . . . 5  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
1210, 3, 11fvmpt 5946 . . . 4  |-  ( m  e.  Z  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
1312eqcomd 2456 . . 3  |-  ( m  e.  Z  ->  ( F `  m )  =  ( G `  m ) )
1413adantl 468 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( F `  m )  =  ( G `  m ) )
151, 2, 8, 9, 14climeq 13624 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156    ~~> cli 13541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-neg 9860  df-z 10935  df-uz 11157  df-clim 13545
This theorem is referenced by:  climmpt2  13630  climrecl  13640  climge0  13641  caurcvg2  13737  caucvg  13738  climfsum  13873  dstfrvclim1  29303  divcnvg  37701
  Copyright terms: Public domain W3C validator