MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt Structured version   Unicode version

Theorem climmpt 13541
Description: Exhibit a function  G with the same convergence properties as the not-quite-function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climmpt.2  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
climmpt  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, Z
Allowed substitution hints:    G( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 simpr 459 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  F  e.  V )
3 climmpt.2 . . . 4  |-  G  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k
) )
4 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2486 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
65mptex 6123 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  |->  ( F `
 k ) )  e.  _V
73, 6eqeltri 2486 . . 3  |-  G  e. 
_V
87a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  G  e.  _V )
9 simpl 455 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  M  e.  ZZ )
10 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
11 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( F `
 m )  e. 
_V
1210, 3, 11fvmpt 5931 . . . 4  |-  ( m  e.  Z  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
1312eqcomd 2410 . . 3  |-  ( m  e.  Z  ->  ( F `  m )  =  ( G `  m ) )
1413adantl 464 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( F `  m )  =  ( G `  m ) )
151, 2, 8, 9, 14climeq 13537 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F  e.  V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  G  ~~>  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126    ~~> cli 13454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-clim 13458
This theorem is referenced by:  climmpt2  13543  climrecl  13553  climge0  13554  caurcvg2  13647  caucvg  13648  climfsum  13783  dstfrvclim1  28908  divcnvg  36982
  Copyright terms: Public domain W3C validator