Theorem climmpt 13171

Description: Exhibit a function G with the same convergence properties as the not-quite-function F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt.2	|- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climmpt	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z

Allowed substitution hints:   G( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 461	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
3		climmpt.2	. . . 4 |- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
4		fvex 5812	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2538	. . . . 5 |- Z e. _V
6	5	mptex 6060	. . . 4 |- ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V
7	3, 6	eqeltri 2538	. . 3 |- G e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> G e. _V )
9		simpl 457	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
10		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
11		fvex 5812	. . . . 5 |- ( F ` m ) e. _V
12	10, 3, 11	fvmpt 5886	. . . 4 |- ( m e. Z -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
13	12	eqcomd 2462	. . 3 |- ( m e. Z -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
14	13	adantl 466	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
15	1, 2, 8, 9, 14	climeq 13167	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   |-> cmpt 4461   ` cfv 5529   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976   ~~> cli 13084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977  df-clim 13088

This theorem is referenced by:  climmpt2  13173  climrecl  13183  climge0  13184  caurcvg2  13277  caucvg  13278  climfsum  13405  dstfrvclim1  27027