Theorem climmpt 13541

Description: Exhibit a function G with the same convergence properties as the not-quite-function F. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climmpt.2	|- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
climmpt	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, Z

Allowed substitution hints:   G( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 459	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
3		climmpt.2	. . . 4 |- G = ( k e. Z |-> ( F ` k ) )
4		fvex 5858	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
5	1, 4	eqeltri 2486	. . . . 5 |- Z e. _V
6	5	mptex 6123	. . . 4 |- ( k e. Z |-> ( F ` k ) ) e. _V
7	3, 6	eqeltri 2486	. . 3 |- G e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> G e. _V )
9		simpl 455	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
10		fveq2 5848	. . . . 5 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
11		fvex 5858	. . . . 5 |- ( F ` m ) e. _V
12	10, 3, 11	fvmpt 5931	. . . 4 |- ( m e. Z -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
13	12	eqcomd 2410	. . 3 |- ( m e. Z -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
14	13	adantl 464	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) = ( G ` m ) )
15	1, 2, 8, 9, 14	climeq 13537	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F ~~> A <-> G ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3058   class class class wbr 4394   |-> cmpt 4452   ` cfv 5568   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ~~> cli 13454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-clim 13458

This theorem is referenced by:  climmpt2  13543  climrecl  13553  climge0  13554  caurcvg2  13647  caucvg  13648  climfsum  13783  dstfrvclim1  28908  divcnvg  36982