Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinff Structured version   Unicode version

Theorem climinff 31778
Description: A version of climinf 31773 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climinff.1  |-  F/ k
ph
climinff.2  |-  F/_ k F
climinff.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climinff.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climinff.5  |-  ( ph  ->  F : Z --> RR )
climinff.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
climinff.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k ) )
Assertion
Ref Expression
climinff  |-  ( ph  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, F    k, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x, k)    F( k)    M( x, k)

Proof of Theorem climinff
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinff.3 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climinff.4 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climinff.5 . 2  |-  ( ph  ->  F : Z --> RR )
4 climinff.1 . . . . 5  |-  F/ k
ph
5 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ k  j  e.  Z
64, 5nfan 1929 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
7 climinff.2 . . . . . 6  |-  F/_ k F
8 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ k
( j  +  1 )
97, 8nffv 5879 . . . . 5  |-  F/_ k
( F `  (
j  +  1 ) )
10 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ k  <_
11 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ k
j
127, 11nffv 5879 . . . . 5  |-  F/_ k
( F `  j
)
139, 10, 12nfbr 4500 . . . 4  |-  F/ k ( F `  (
j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
146, 13nfim 1921 . . 3  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  (
j  +  1 ) )  <_  ( F `  j ) )
15 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
1615anbi2d 703 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
17 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
1817fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
19 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2018, 19breq12d 4469 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
) )
2116, 20imbi12d 320 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  Z
)  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
) ) )
22 climinff.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
2314, 21, 22chvar 2014 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j ) )
24 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ k RR
255nfci 2608 . . . . . 6  |-  F/_ k Z
26 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ k
x
2726, 10, 12nfbr 4500 . . . . . 6  |-  F/ k  x  <_  ( F `  j )
2825, 27nfral 2843 . . . . 5  |-  F/ k A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
2924, 28nfrex 2920 . . . 4  |-  F/ k E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
304, 29nfim 1921 . . 3  |-  F/ k ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
)
31 nfv 1708 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  <_  ( F `  k )
3219breq2d 4468 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
x  <_  ( F `  k )  <->  x  <_  ( F `  j ) ) )
3331, 27, 32cbvral 3080 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k
)  <->  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) )
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )  <->  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) ) )
3534rexbidv 2968 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
) )
3635imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )
)  <->  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j
) ) ) )
37 climinff.7 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k ) )
3830, 36, 37chvar 2014 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) )
391, 2, 3, 23, 38climinf 31773 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106    ~~> cli 13318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator