Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climinff Structured version   Unicode version

Theorem climinff 29782
Description: A version of climinf 29777 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climinff.1  |-  F/ k
ph
climinff.2  |-  F/_ k F
climinff.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climinff.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climinff.5  |-  ( ph  ->  F : Z --> RR )
climinff.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
climinff.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k ) )
Assertion
Ref Expression
climinff  |-  ( ph  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    x, k    x, F    k, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x, k)    F( k)    M( x, k)

Proof of Theorem climinff
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climinff.3 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climinff.4 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climinff.5 . 2  |-  ( ph  ->  F : Z --> RR )
4 climinff.1 . . . . 5  |-  F/ k
ph
5 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ k  j  e.  Z
64, 5nfan 1861 . . . 4  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
7 climinff.2 . . . . . 6  |-  F/_ k F
8 nfcv 2578 . . . . . 6  |-  F/_ k
( j  +  1 )
97, 8nffv 5697 . . . . 5  |-  F/_ k
( F `  (
j  +  1 ) )
10 nfcv 2578 . . . . 5  |-  F/_ k  <_
11 nfcv 2578 . . . . . 6  |-  F/_ k
j
127, 11nffv 5697 . . . . 5  |-  F/_ k
( F `  j
)
139, 10, 12nfbr 4335 . . . 4  |-  F/ k ( F `  (
j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
146, 13nfim 1853 . . 3  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  (
j  +  1 ) )  <_  ( F `  j ) )
15 eleq1 2502 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
1615anbi2d 703 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
17 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
1817fveq2d 5694 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
19 fveq2 5690 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
2018, 19breq12d 4304 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  <->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
) )
2116, 20imbi12d 320 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )  <->  ( ( ph  /\  j  e.  Z
)  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j )
) ) )
22 climinff.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
2314, 21, 22chvar 1957 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  <_  ( F `  j ) )
24 nfcv 2578 . . . . 5  |-  F/_ k RR
255nfci 2568 . . . . . 6  |-  F/_ k Z
26 nfcv 2578 . . . . . . 7  |-  F/_ k
x
2726, 10, 12nfbr 4335 . . . . . 6  |-  F/ k  x  <_  ( F `  j )
2825, 27nfral 2768 . . . . 5  |-  F/ k A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
2924, 28nfrex 2770 . . . 4  |-  F/ k E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
304, 29nfim 1853 . . 3  |-  F/ k ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
)
31 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ j  x  <_  ( F `  k )
3219breq2d 4303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
x  <_  ( F `  k )  <->  x  <_  ( F `  j ) ) )
3331, 27, 32cbvral 2942 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k
)  <->  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) )
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  ( A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )  <->  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) ) )
3534rexbidv 2735 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  ( E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j )
) )
3635imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k )
)  <->  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j
) ) ) )
37 climinff.7 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  Z  x  <_  ( F `  k ) )
3830, 36, 37chvar 1957 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  Z  x  <_  ( F `  j ) )
391, 2, 3, 23, 38climinf 29777 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2565   A.wral 2714   E.wrex 2715   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   ran crn 4840   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   supcsup 7689   RRcr 9280   1c1 9282    + caddc 9284    < clt 9417    <_ cle 9418   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860    ~~> cli 12961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-seq 11806  df-exp 11865  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator