Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climfsum Structured version   Unicode version

Theorem climfsum 13823
 Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that is a collection of functions with implicit parameter , each of which converges to as . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climfsum.1
climfsum.2
climfsum.3
climfsum.5
climfsum.6
climfsum.7
climfsum.8
Assertion
Ref Expression
climfsum
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   (,)

Proof of Theorem climfsum
StepHypRef Expression
1 climfsum.8 . . . 4
21mpteq2dva 4453 . . 3
3 climfsum.1 . . . . . . . 8
4 uzssz 11129 . . . . . . . 8
53, 4eqsstri 3437 . . . . . . 7
6 zssre 10895 . . . . . . 7
75, 6sstri 3416 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 climfsum.3 . . . . 5
10 fvex 5835 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 climfsum.5 . . . . . . 7
13 climfsum.2 . . . . . . . . 9
1413adantr 466 . . . . . . . 8
15 climrel 13499 . . . . . . . . . 10
1615brrelexi 4837 . . . . . . . . 9
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8
18 eqid 2428 . . . . . . . . 9
193, 18climmpt 13578 . . . . . . . 8
2014, 17, 19syl2anc 665 . . . . . . 7
2112, 20mpbid 213 . . . . . 6
22 climfsum.7 . . . . . . . . 9
2322anassrs 652 . . . . . . . 8
2423, 18fmptd 6005 . . . . . . 7
253, 14, 24rlimclim 13553 . . . . . 6
2621, 25mpbird 235 . . . . 5
278, 9, 11, 26fsumrlim 13814 . . . 4
289adantr 466 . . . . . . 7
2922anass1rs 814 . . . . . . 7
3028, 29fsumcl 13742 . . . . . 6
31 eqid 2428 . . . . . 6
3230, 31fmptd 6005 . . . . 5
333, 13, 32rlimclim 13553 . . . 4
3427, 33mpbid 213 . . 3
352, 34eqbrtrd 4387 . 2
36 climfsum.6 . . 3
37 eqid 2428 . . . 4
383, 37climmpt 13578 . . 3
3913, 36, 38syl2anc 665 . 2
4035, 39mpbird 235 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3022   wss 3379   class class class wbr 4366   cmpt 4425  cfv 5544  cfn 7524  cc 9488  cr 9489  cz 10888  cuz 11110   cli 13491   crli 13492  csu 13695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696 This theorem is referenced by:  itg1climres  22614  plyeq0lem  23106
 Copyright terms: Public domain W3C validator