Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climf Structured version   Unicode version

Theorem climf 31831
 Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence is , or converges to . Similar to clim 13329, but without the disjoint var constraint . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
climf.nf
climf.f
climf.fv
Assertion
Ref Expression
climf
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem climf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 13327 . . . . 5
21brrelex2i 5050 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 elex 3118 . . . . 5
54adantr 465 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 climf.f . . . 4
8 simpr 461 . . . . . . . 8
98eleq1d 2526 . . . . . . 7
10 nfv 1708 . . . . . . . 8
11 climf.nf . . . . . . . . . . . 12
1211nfeq2 2636 . . . . . . . . . . 11
13 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11
1412, 13nfan 1929 . . . . . . . . . 10
15 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
1716eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
18 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . . . 14
1915, 18sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
2120breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11
2217, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
2314, 22ralbid 2891 . . . . . . . . 9
2423rexbidv 2968 . . . . . . . 8
2510, 24ralbid 2891 . . . . . . 7
269, 25anbi12d 710 . . . . . 6
27 df-clim 13323 . . . . . 6
2826, 27brabga 4770 . . . . 5
2928ex 434 . . . 4
307, 29syl 16 . . 3
313, 6, 30pm5.21ndd 354 . 2
32 eluzelz 11115 . . . . . . 7
33 climf.fv . . . . . . . . 9
3433eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3533oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
3635fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
3736breq1d 4466 . . . . . . . 8
3834, 37anbi12d 710 . . . . . . 7
3932, 38sylan2 474 . . . . . 6
4039ralbidva 2893 . . . . 5
4140rexbidv 2968 . . . 4
4241ralbidv 2896 . . 3
4342anbi2d 703 . 2
4431, 43bitrd 253 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wnfc 2605  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507   clt 9645   cmin 9824  cz 10885  cuz 11106  crp 11245  cabs 13079   cli 13319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-clim 13323 This theorem is referenced by:  clim2f  31845
 Copyright terms: Public domain W3C validator