Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Unicode version

Theorem climexp 31147
 Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1
climexp.2
climexp.3
climexp.4
climexp.5
climexp.6
climexp.7
climexp.8
climexp.9
climexp.10
Assertion
Ref Expression
climexp
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4
2 climexp.5 . . . 4
3 climexp.8 . . . . . 6
4 eqid 2467 . . . . . . 7 fld fld
54expcn 21111 . . . . . 6 fld fld
63, 5syl 16 . . . . 5 fld fld
74cncfcn1 21149 . . . . 5 fld fld
86, 7syl6eleqr 2566 . . . 4
9 climexp.6 . . . 4
10 climexp.7 . . . 4
11 climcl 13281 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 21139 . . 3
14 eqidd 2468 . . . 4
15 simpr 461 . . . . 5
1615oveq1d 6297 . . . 4
1712, 3expcld 12274 . . . 4
1814, 16, 12, 17fvmptd 5953 . . 3
1913, 18breqtrd 4471 . 2
20 climexp.9 . . 3
21 cnex 9569 . . . . 5
2221mptex 6129 . . . 4
23 fvex 5874 . . . . . 6
241, 23eqeltri 2551 . . . . 5
25 fex 6131 . . . . 5
269, 24, 25sylancl 662 . . . 4
27 coexg 6732 . . . 4
2822, 26, 27sylancr 663 . . 3
29 eqidd 2468 . . . . 5
30 simpr 461 . . . . . 6
3130oveq1d 6297 . . . . 5
329ffvelrnda 6019 . . . . 5
333adantr 465 . . . . . 6
3432, 33expcld 12274 . . . . 5
3529, 31, 32, 34fvmptd 5953 . . . 4
36 fvco3 5942 . . . . 5
379, 36sylan 471 . . . 4
38 climexp.1 . . . . . . 7
39 nfv 1683 . . . . . . 7
4038, 39nfan 1875 . . . . . 6
41 climexp.3 . . . . . . . 8
42 nfcv 2629 . . . . . . . 8
4341, 42nffv 5871 . . . . . . 7
44 climexp.2 . . . . . . . . 9
4544, 42nffv 5871 . . . . . . . 8
46 nfcv 2629 . . . . . . . 8
47 nfcv 2629 . . . . . . . 8
4845, 46, 47nfov 6305 . . . . . . 7
4943, 48nfeq 2640 . . . . . 6
5040, 49nfim 1867 . . . . 5
51 eleq1 2539 . . . . . . 7
5251anbi2d 703 . . . . . 6
53 fveq2 5864 . . . . . . 7
54 fveq2 5864 . . . . . . . 8
5554oveq1d 6297 . . . . . . 7
5653, 55eqeq12d 2489 . . . . . 6
5752, 56imbi12d 320 . . . . 5
58 climexp.10 . . . . 5
5950, 57, 58chvar 1982 . . . 4
6035, 37, 593eqtr4rd 2519 . . 3
611, 20, 28, 2, 60climeq 13349 . 2
6219, 61mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379  wnf 1599   wcel 1767  wnfc 2615  cvv 3113   class class class wbr 4447   cmpt 4505   ccom 5003  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486  cn0 10791  cz 10860  cuz 11078  cexp 12130   cli 13266  ctopn 14673  ℂfldccnfld 18191   ccn 19491  ccncf 21115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  31381
 Copyright terms: Public domain W3C validator