Theorem climexp 31147

Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climexp.1	|- F/ k ph
climexp.2	|- F/_ k F
climexp.3	|- F/_ k H
climexp.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climexp.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climexp.6	|- ( ph -> F : Z --> CC )
climexp.7	|- ( ph -> F ~~> A )
climexp.8	|- ( ph -> N e. NN0 )
climexp.9	|- ( ph -> H e. V )
climexp.10	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
climexp	|- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Distinct variable groups:   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   F( k)   H( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climexp

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climexp.4	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climexp.5	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climexp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	expcn 21111	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
6	3, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
7	4	cncfcn1 21149	. . . . 5 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	6, 7	syl6eleqr 2566	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		climexp.6	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> CC )
10		climexp.7	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climcl 13281	. . . . 5 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
13	1, 2, 8, 9, 10, 12	climcncf 21139	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) )
14		eqidd 2468	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
15		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
16	15	oveq1d 6297	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x ^ N ) = ( A ^ N ) )
17	12, 3	expcld 12274	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
18	14, 16, 12, 17	fvmptd 5953	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) = ( A ^ N ) )
19	13, 18	breqtrd 4471	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) )
20		climexp.9	. . 3 |- ( ph -> H e. V )
21		cnex 9569	. . . . 5 |- CC e. _V
22	21	mptex 6129	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V
23		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
24	1, 23	eqeltri 2551	. . . . 5 |- Z e. _V
25		fex 6131	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
26	9, 24, 25	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
27		coexg 6732	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
28	22, 26, 27	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
29		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
30		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> x = ( F ` j ) )
31	30	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> ( x ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
32	9	ffvelrnda 6019	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. CC )
33	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> N e. NN0 )
34	32, 33	expcld 12274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ^ N ) e. CC )
35	29, 31, 32, 34	fvmptd 5953	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
36		fvco3 5942	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
37	9, 36	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
38		climexp.1	. . . . . . 7 |- F/ k ph
39		nfv 1683	. . . . . . 7 |- F/ k j e. Z
40	38, 39	nfan 1875	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ j e. Z )
41		climexp.3	. . . . . . . 8 |- F/_ k H
42		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ k j
43	41, 42	nffv 5871	. . . . . . 7 |- F/_ k ( H ` j )
44		climexp.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
45	44, 42	nffv 5871	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( F ` j )
46		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ k ^
47		nfcv 2629	. . . . . . . 8 |- F/_ k N
48	45, 46, 47	nfov 6305	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( F ` j ) ^ N )
49	43, 48	nfeq 2640	. . . . . 6 |- F/ k ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N )
50	40, 49	nfim 1867	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
51		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
52	51	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
53		fveq2 5864	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( H ` k ) = ( H ` j ) )
54		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
55	54	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
56	53, 55	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) <-> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) )
57	52, 56	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) ) )
58		climexp.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )
59	50, 57, 58	chvar 1982	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
60	35, 37, 59	3eqtr4rd 2519	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) )
61	1, 20, 28, 2, 60	climeq 13349	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( A ^ N ) <-> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) ) )
62	19, 61	mpbird 232	1 |- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ^cexp 12130   ~~> cli 13266   TopOpenctopn 14673  ℂ_fldccnfld 18191   Cn ccn 19491   -cn->ccncf 21115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  31381