Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Unicode version

Theorem climexp 29919
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1  |-  F/ k
ph
climexp.2  |-  F/_ k F
climexp.3  |-  F/_ k H
climexp.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climexp.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climexp.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
climexp.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climexp.8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
climexp.9  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
climexp.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
Assertion
Ref Expression
climexp  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    H( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climexp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climexp.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54expcn 20573 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
63, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
74cncfcn1 20611 . . . . 5  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
86, 7syl6eleqr 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9 climexp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
10 climexp.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climcl 13088 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 20601 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A ) )
14 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
15 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
1615oveq1d 6208 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x ^ N )  =  ( A ^ N ) )
1712, 3expcld 12118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
1814, 16, 12, 17fvmptd 5881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A )  =  ( A ^ N ) )
1913, 18breqtrd 4417 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N ) )
20 climexp.9 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
21 cnex 9467 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221mptex 6050 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  _V
23 fvex 5802 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
241, 23eqeltri 2535 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
25 fex 6052 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
269, 24, 25sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
27 coexg 6631 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
2822, 26, 27sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
29 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  ->  x  =  ( F `  j ) )
3130oveq1d 6208 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
329ffvelrnda 5945 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
333adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  N  e.  NN0 )
3432, 33expcld 12118 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) ^ N )  e.  CC )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
36 fvco3 5870 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
) )
379, 36sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  ( F `
 j ) ) )
38 climexp.1 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
39 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ k  j  e.  Z
4038, 39nfan 1863 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
41 climexp.3 . . . . . . . 8  |-  F/_ k H
42 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
j
4341, 42nffv 5799 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( H `  j
)
44 climexp.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
4544, 42nffv 5799 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( F `  j
)
46 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ k ^
47 nfcv 2613 . . . . . . . 8  |-  F/_ k N
4845, 46, 47nfov 6216 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( F `  j ) ^ N
)
4943, 48nfeq 2623 . . . . . 6  |-  F/ k ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N )
5040, 49nfim 1855 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
51 eleq1 2523 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
5251anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
53 fveq2 5792 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( H `  k )  =  ( H `  j ) )
54 fveq2 5792 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
5554oveq1d 6208 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) ^ N )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
5653, 55eqeq12d 2473 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
) ^ N ) ) )
5752, 56imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) ) ) )
58 climexp.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
5950, 57, 58chvar 1966 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
6035, 37, 593eqtr4rd 2503 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `
 j ) )
611, 20, 28, 2, 60climeq 13156 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( A ^ N )  <->  ( (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N
) ) )
6219, 61mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370   F/wnf 1590    e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   _Vcvv 3071   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    o. ccom 4945   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ^cexp 11975    ~~> cli 13073   TopOpenctopn 14471  ℂfldccnfld 17936    Cn ccn 18953   -cn->ccncf 20577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  30017
  Copyright terms: Public domain W3C validator