Theorem climexp 29919

Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climexp.1	|- F/ k ph
climexp.2	|- F/_ k F
climexp.3	|- F/_ k H
climexp.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climexp.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climexp.6	|- ( ph -> F : Z --> CC )
climexp.7	|- ( ph -> F ~~> A )
climexp.8	|- ( ph -> N e. NN0 )
climexp.9	|- ( ph -> H e. V )
climexp.10	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
climexp	|- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Distinct variable groups:   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   F( k)   H( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climexp

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climexp.4	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climexp.5	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climexp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	expcn 20573	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
6	3, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
7	4	cncfcn1 20611	. . . . 5 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	6, 7	syl6eleqr 2550	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		climexp.6	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> CC )
10		climexp.7	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climcl 13088	. . . . 5 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
13	1, 2, 8, 9, 10, 12	climcncf 20601	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) )
14		eqidd 2452	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
15		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
16	15	oveq1d 6208	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x ^ N ) = ( A ^ N ) )
17	12, 3	expcld 12118	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
18	14, 16, 12, 17	fvmptd 5881	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) = ( A ^ N ) )
19	13, 18	breqtrd 4417	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) )
20		climexp.9	. . 3 |- ( ph -> H e. V )
21		cnex 9467	. . . . 5 |- CC e. _V
22	21	mptex 6050	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V
23		fvex 5802	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
24	1, 23	eqeltri 2535	. . . . 5 |- Z e. _V
25		fex 6052	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
26	9, 24, 25	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
27		coexg 6631	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
28	22, 26, 27	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
29		eqidd 2452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
30		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> x = ( F ` j ) )
31	30	oveq1d 6208	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> ( x ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
32	9	ffvelrnda 5945	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. CC )
33	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> N e. NN0 )
34	32, 33	expcld 12118	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ^ N ) e. CC )
35	29, 31, 32, 34	fvmptd 5881	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
36		fvco3 5870	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
37	9, 36	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
38		climexp.1	. . . . . . 7 |- F/ k ph
39		nfv 1674	. . . . . . 7 |- F/ k j e. Z
40	38, 39	nfan 1863	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ j e. Z )
41		climexp.3	. . . . . . . 8 |- F/_ k H
42		nfcv 2613	. . . . . . . 8 |- F/_ k j
43	41, 42	nffv 5799	. . . . . . 7 |- F/_ k ( H ` j )
44		climexp.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
45	44, 42	nffv 5799	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( F ` j )
46		nfcv 2613	. . . . . . . 8 |- F/_ k ^
47		nfcv 2613	. . . . . . . 8 |- F/_ k N
48	45, 46, 47	nfov 6216	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( F ` j ) ^ N )
49	43, 48	nfeq 2623	. . . . . 6 |- F/ k ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N )
50	40, 49	nfim 1855	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
51		eleq1 2523	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
52	51	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
53		fveq2 5792	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( H ` k ) = ( H ` j ) )
54		fveq2 5792	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
55	54	oveq1d 6208	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
56	53, 55	eqeq12d 2473	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) <-> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) )
57	52, 56	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) ) )
58		climexp.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )
59	50, 57, 58	chvar 1966	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
60	35, 37, 59	3eqtr4rd 2503	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) )
61	1, 20, 28, 2, 60	climeq 13156	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( A ^ N ) <-> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) ) )
62	19, 61	mpbird 232	1 |- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   F/wnf 1590   e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   _Vcvv 3071   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   o. ccom 4945   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   ^cexp 11975   ~~> cli 13073   TopOpenctopn 14471  ℂ_fldccnfld 17936   Cn ccn 18953   -cn->ccncf 20577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  30017