Theorem climexp 29731

Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climexp.1	|- F/ k ph
climexp.2	|- F/_ k F
climexp.3	|- F/_ k H
climexp.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climexp.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climexp.6	|- ( ph -> F : Z --> CC )
climexp.7	|- ( ph -> F ~~> A )
climexp.8	|- ( ph -> N e. NN0 )
climexp.9	|- ( ph -> H e. V )
climexp.10	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
climexp	|- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Distinct variable groups:   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   F( k)   H( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climexp

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climexp.4	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climexp.5	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climexp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		eqid 2438	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	expcn 20423	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
6	3, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
7	4	cncfcn1 20461	. . . . 5 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	6, 7	syl6eleqr 2529	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		climexp.6	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> CC )
10		climexp.7	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climcl 12969	. . . . 5 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
13	1, 2, 8, 9, 10, 12	climcncf 20451	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) )
14		eqidd 2439	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
15		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
16	15	oveq1d 6101	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x ^ N ) = ( A ^ N ) )
17	12, 3	expcld 12000	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
18	14, 16, 12, 17	fvmptd 5774	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) = ( A ^ N ) )
19	13, 18	breqtrd 4311	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) )
20		climexp.9	. . 3 |- ( ph -> H e. V )
21		cnex 9355	. . . . 5 |- CC e. _V
22	21	mptex 5943	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V
23		fvex 5696	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
24	1, 23	eqeltri 2508	. . . . 5 |- Z e. _V
25		fex 5945	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
26	9, 24, 25	sylancl 662	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
27		coexg 6523	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
28	22, 26, 27	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
29		eqidd 2439	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
30		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> x = ( F ` j ) )
31	30	oveq1d 6101	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> ( x ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
32	9	ffvelrnda 5838	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. CC )
33	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> N e. NN0 )
34	32, 33	expcld 12000	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ^ N ) e. CC )
35	29, 31, 32, 34	fvmptd 5774	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
36		fvco3 5763	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
37	9, 36	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
38		climexp.1	. . . . . . 7 |- F/ k ph
39		nfv 1673	. . . . . . 7 |- F/ k j e. Z
40	38, 39	nfan 1860	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ j e. Z )
41		climexp.3	. . . . . . . 8 |- F/_ k H
42		nfcv 2574	. . . . . . . 8 |- F/_ k j
43	41, 42	nffv 5693	. . . . . . 7 |- F/_ k ( H ` j )
44		climexp.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
45	44, 42	nffv 5693	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( F ` j )
46		nfcv 2574	. . . . . . . 8 |- F/_ k ^
47		nfcv 2574	. . . . . . . 8 |- F/_ k N
48	45, 46, 47	nfov 6109	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( F ` j ) ^ N )
49	43, 48	nfeq 2581	. . . . . 6 |- F/ k ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N )
50	40, 49	nfim 1852	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
51		eleq1 2498	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
52	51	anbi2d 703	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
53		fveq2 5686	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( H ` k ) = ( H ` j ) )
54		fveq2 5686	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
55	54	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
56	53, 55	eqeq12d 2452	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) <-> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) )
57	52, 56	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) ) )
58		climexp.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )
59	50, 57, 58	chvar 1957	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
60	35, 37, 59	3eqtr4rd 2481	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) )
61	1, 20, 28, 2, 60	climeq 13037	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( A ^ N ) <-> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) ) )
62	19, 61	mpbird 232	1 |- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2561   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ^cexp 11857   ~~> cli 12954   TopOpenctopn 14352  ℂ_fldccnfld 17793   Cn ccn 18803   -cn->ccncf 20427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  29829