Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Unicode version

Theorem climexp 31147
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1  |-  F/ k
ph
climexp.2  |-  F/_ k F
climexp.3  |-  F/_ k H
climexp.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climexp.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climexp.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
climexp.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climexp.8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
climexp.9  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
climexp.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
Assertion
Ref Expression
climexp  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    H( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climexp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climexp.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54expcn 21111 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
63, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
74cncfcn1 21149 . . . . 5  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
86, 7syl6eleqr 2566 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9 climexp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
10 climexp.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climcl 13281 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 21139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A ) )
14 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
15 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
1615oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x ^ N )  =  ( A ^ N ) )
1712, 3expcld 12274 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
1814, 16, 12, 17fvmptd 5953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A )  =  ( A ^ N ) )
1913, 18breqtrd 4471 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N ) )
20 climexp.9 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
21 cnex 9569 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221mptex 6129 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  _V
23 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
241, 23eqeltri 2551 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
25 fex 6131 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
269, 24, 25sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
27 coexg 6732 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
2822, 26, 27sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
29 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  ->  x  =  ( F `  j ) )
3130oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
329ffvelrnda 6019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
333adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  N  e.  NN0 )
3432, 33expcld 12274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) ^ N )  e.  CC )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5953 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
36 fvco3 5942 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
) )
379, 36sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  ( F `
 j ) ) )
38 climexp.1 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
39 nfv 1683 . . . . . . 7  |-  F/ k  j  e.  Z
4038, 39nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
41 climexp.3 . . . . . . . 8  |-  F/_ k H
42 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
j
4341, 42nffv 5871 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( H `  j
)
44 climexp.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
4544, 42nffv 5871 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( F `  j
)
46 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k ^
47 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ k N
4845, 46, 47nfov 6305 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( F `  j ) ^ N
)
4943, 48nfeq 2640 . . . . . 6  |-  F/ k ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N )
5040, 49nfim 1867 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
51 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
5251anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
53 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( H `  k )  =  ( H `  j ) )
54 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
5554oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) ^ N )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
5653, 55eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
) ^ N ) ) )
5752, 56imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) ) ) )
58 climexp.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
5950, 57, 58chvar 1982 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
6035, 37, 593eqtr4rd 2519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `
 j ) )
611, 20, 28, 2, 60climeq 13349 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( A ^ N )  <->  ( (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N
) ) )
6219, 61mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   F/wnf 1599    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ^cexp 12130    ~~> cli 13266   TopOpenctopn 14673  ℂfldccnfld 18191    Cn ccn 19491   -cn->ccncf 21115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  31381
  Copyright terms: Public domain W3C validator