Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climexp Structured version   Unicode version

Theorem climexp 31853
Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climexp.1  |-  F/ k
ph
climexp.2  |-  F/_ k F
climexp.3  |-  F/_ k H
climexp.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climexp.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climexp.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
climexp.7  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
climexp.8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
climexp.9  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
climexp.10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
Assertion
Ref Expression
climexp  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    F( k)    H( k)    M( k)    V( k)

Proof of Theorem climexp
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climexp.4 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 climexp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 climexp.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
54expcn 21545 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
63, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
74cncfcn1 21583 . . . . 5  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
86, 7syl6eleqr 2553 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
9 climexp.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
10 climexp.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  ~~>  A )
11 climcl 13407 . . . . 5  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
131, 2, 8, 9, 10, 12climcncf 21573 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A ) )
14 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
15 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  x  =  A )
1615oveq1d 6285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  (
x ^ N )  =  ( A ^ N ) )
1712, 3expcld 12295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  CC )
1814, 16, 12, 17fvmptd 5936 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  A )  =  ( A ^ N ) )
1913, 18breqtrd 4463 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N ) )
20 climexp.9 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  V )
21 cnex 9562 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221mptex 6118 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  _V
23 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
241, 23eqeltri 2538 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
25 fex 6120 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
269, 24, 25sylancl 660 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
27 coexg 6724 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
2822, 26, 27sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  _V )
29 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
30 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  ->  x  =  ( F `  j ) )
3130oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  x  =  ( F `  j ) )  -> 
( x ^ N
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
329ffvelrnda 6007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
333adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  N  e.  NN0 )
3432, 33expcld 12295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) ^ N )  e.  CC )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5936 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
36 fvco3 5925 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  j  e.  Z )  ->  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  j )
) )
379, 36sylan 469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `  j
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `  ( F `
 j ) ) )
38 climexp.1 . . . . . . 7  |-  F/ k
ph
39 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ k  j  e.  Z
4038, 39nfan 1933 . . . . . 6  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  Z )
41 climexp.3 . . . . . . . 8  |-  F/_ k H
42 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
j
4341, 42nffv 5855 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( H `  j
)
44 climexp.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k F
4544, 42nffv 5855 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( F `  j
)
46 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ k ^
47 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ k N
4845, 46, 47nfov 6296 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( ( F `  j ) ^ N
)
4943, 48nfeq 2627 . . . . . 6  |-  F/ k ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N )
5040, 49nfim 1925 . . . . 5  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) )
51 eleq1 2526 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  Z  <->  j  e.  Z ) )
5251anbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  Z )  <->  ( ph  /\  j  e.  Z ) ) )
53 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( H `  k )  =  ( H `  j ) )
54 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
5554oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
) ^ N )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
5653, 55eqeq12d 2476 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N )  <->  ( H `  j )  =  ( ( F `  j
) ^ N ) ) )
5752, 56imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ N ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j
)  =  ( ( F `  j ) ^ N ) ) ) )
58 climexp.10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) ^ N ) )
5950, 57, 58chvar 2018 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( F `
 j ) ^ N ) )
6035, 37, 593eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F ) `
 j ) )
611, 20, 28, 2, 60climeq 13475 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( A ^ N )  <->  ( (
x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  ~~>  ( A ^ N
) ) )
6219, 61mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   F/wnf 1621    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ^cexp 12151    ~~> cli 13392   TopOpenctopn 14914  ℂfldccnfld 18618    Cn ccn 19895   -cn->ccncf 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551
This theorem is referenced by:  stirlinglem8  32105
  Copyright terms: Public domain W3C validator