Theorem climexp 31853

Description: The limit of natural powers, is the natural power of the limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climexp.1	|- F/ k ph
climexp.2	|- F/_ k F
climexp.3	|- F/_ k H
climexp.4	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climexp.5	|- ( ph -> M e. ZZ )
climexp.6	|- ( ph -> F : Z --> CC )
climexp.7	|- ( ph -> F ~~> A )
climexp.8	|- ( ph -> N e. NN0 )
climexp.9	|- ( ph -> H e. V )
climexp.10	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )

Assertion

Ref	Expression
climexp	|- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Distinct variable groups:   k, N   k, Z

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( k)   F( k)   H( k)   M( k)   V( k)

Proof of Theorem climexp

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climexp.4	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		climexp.5	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		climexp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
4		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	expcn 21545	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
6	3, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
7	4	cncfcn1 21583	. . . . 5 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
8	6, 7	syl6eleqr 2553	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
9		climexp.6	. . . 4 |- ( ph -> F : Z --> CC )
10		climexp.7	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
11		climcl 13407	. . . . 5 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
13	1, 2, 8, 9, 10, 12	climcncf 21573	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) )
14		eqidd 2455	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
15		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
16	15	oveq1d 6285	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( x ^ N ) = ( A ^ N ) )
17	12, 3	expcld 12295	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^ N ) e. CC )
18	14, 16, 12, 17	fvmptd 5936	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` A ) = ( A ^ N ) )
19	13, 18	breqtrd 4463	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) )
20		climexp.9	. . 3 |- ( ph -> H e. V )
21		cnex 9562	. . . . 5 |- CC e. _V
22	21	mptex 6118	. . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V
23		fvex 5858	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
24	1, 23	eqeltri 2538	. . . . 5 |- Z e. _V
25		fex 6120	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ Z e. _V ) -> F e. _V )
26	9, 24, 25	sylancl 660	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
27		coexg 6724	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) e. _V /\ F e. _V ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
28	22, 26, 27	sylancr 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) e. _V )
29		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
30		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> x = ( F ` j ) )
31	30	oveq1d 6285	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. Z ) /\ x = ( F ` j ) ) -> ( x ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
32	9	ffvelrnda 6007	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( F ` j ) e. CC )
33	3	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> N e. NN0 )
34	32, 33	expcld 12295	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( F ` j ) ^ N ) e. CC )
35	29, 31, 32, 34	fvmptd 5936	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
36		fvco3 5925	. . . . 5 |- ( ( F : Z --> CC /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
37	9, 36	sylan 469	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) = ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ` ( F ` j ) ) )
38		climexp.1	. . . . . . 7 |- F/ k ph
39		nfv 1712	. . . . . . 7 |- F/ k j e. Z
40	38, 39	nfan 1933	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ j e. Z )
41		climexp.3	. . . . . . . 8 |- F/_ k H
42		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ k j
43	41, 42	nffv 5855	. . . . . . 7 |- F/_ k ( H ` j )
44		climexp.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ k F
45	44, 42	nffv 5855	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( F ` j )
46		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ k ^
47		nfcv 2616	. . . . . . . 8 |- F/_ k N
48	45, 46, 47	nfov 6296	. . . . . . 7 |- F/_ k ( ( F ` j ) ^ N )
49	43, 48	nfeq 2627	. . . . . 6 |- F/ k ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N )
50	40, 49	nfim 1925	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
51		eleq1 2526	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( k e. Z <-> j e. Z ) )
52	51	anbi2d 701	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. Z ) <-> ( ph /\ j e. Z ) ) )
53		fveq2 5848	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( H ` k ) = ( H ` j ) )
54		fveq2 5848	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
55	54	oveq1d 6285	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) ^ N ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
56	53, 55	eqeq12d 2476	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) <-> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) )
57	52, 56	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) ) <-> ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) ) ) )
58		climexp.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) ^ N ) )
59	50, 57, 58	chvar 2018	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( F ` j ) ^ N ) )
60	35, 37, 59	3eqtr4rd 2506	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. Z ) -> ( H ` j ) = ( ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ` j ) )
61	1, 20, 28, 2, 60	climeq 13475	. 2 |- ( ph -> ( H ~~> ( A ^ N ) <-> ( ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) o. F ) ~~> ( A ^ N ) ) )
62	19, 61	mpbird 232	1 |- ( ph -> H ~~> ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   F/wnf 1621   e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ^cexp 12151   ~~> cli 13392   TopOpenctopn 14914  ℂ_fldccnfld 18618   Cn ccn 19895   -cn->ccncf 21549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551

This theorem is referenced by:  stirlinglem8  32105