Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climdivf Structured version   Unicode version

Theorem climdivf 36986
 Description: Limit of the ratio of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climdivf.1
climdivf.2
climdivf.3
climdivf.4
climdivf.5
climdivf.6
climdivf.7
climdivf.8
climdivf.9
climdivf.10
climdivf.11
climdivf.12
climdivf.13
Assertion
Ref Expression
climdivf
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem climdivf
StepHypRef Expression
1 climdivf.1 . . 3
2 climdivf.2 . . 3
3 nfmpt1 4484 . . 3
4 climdivf.4 . . 3
5 climdivf.5 . . 3
6 climdivf.6 . . 3
7 climdivf.7 . . 3
8 climdivf.8 . . 3
9 climdivf.3 . . . 4
10 climdivf.9 . . . 4
11 climdivf.10 . . . 4
12 climdivf.12 . . . 4
13 simpr 459 . . . . 5
1412eldifad 3426 . . . . . 6
15 eldifsni 4098 . . . . . . 7
1612, 15syl 17 . . . . . 6
1714, 16reccld 10354 . . . . 5
18 eqid 2402 . . . . . 6
1918fvmpt2 5941 . . . . 5
2013, 17, 19syl2anc 659 . . . 4
21 fvex 5859 . . . . . . 7
225, 21eqeltri 2486 . . . . . 6
2322mptex 6124 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4
251, 9, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 20, 24climrecf 36983 . . 3
26 climdivf.11 . . 3
2720, 17eqeltrd 2490 . . 3
28 climdivf.13 . . . 4
2926, 14, 16divrecd 10364 . . . 4
3020eqcomd 2410 . . . . 5
3130oveq2d 6294 . . . 4
3228, 29, 313eqtrd 2447 . . 3
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 25, 26, 27, 32climmulf 36978 . 2
34 climcl 13471 . . . 4
357, 34syl 17 . . 3
36 climcl 13471 . . . 4
3710, 36syl 17 . . 3
3835, 37, 11divrecd 10364 . 2
3933, 38breqtrrd 4421 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405  wnf 1637   wcel 1842  wnfc 2550   wne 2598  cvv 3059   cdif 3411  csn 3972   class class class wbr 4395   cmpt 4453  cfv 5569  (class class class)co 6278  cc 9520  cc0 9522  c1 9523   cmul 9527   cdiv 10247  cz 10905  cuz 11127   cli 13456 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460 This theorem is referenced by:  stirlinglem8  37231  fourierdlem103  37360  fourierdlem104  37361
 Copyright terms: Public domain W3C validator