Theorem climconsti 8354

Description: An (eventually) constant sequence converges to its value.

Hypotheses

Ref	Expression
climconsti.1	|- F e. _V
climconsti.2	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
climconsti	|- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) -> F ~~> A)

Distinct variable groups:   A,k   k,F   k,M

Proof of Theorem climconsti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (j <_ k <-> M <_ k))
2	1	imbi1d 675	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> (M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
3	2	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (j = M -> (A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) <-> A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
4	3	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
5		climconsti.2	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
6		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` k) = A -> ((F` k) - A) = (A - A))
7		subid 6555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A e. CC -> (A - A) = 0)
8	6, 7	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> ((F` k) - A) = 0)
9	8	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> (abs` ((F` k) - A)) = (abs` 0))
10		abs0 8129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (abs` 0) = 0
11	9, 10	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> (abs` ((F` k) - A)) = 0)
12	11	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ (F` k) = A) -> ((abs` ((F` k) - A)) < x <-> 0 < x))
13	12	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CC /\ (F` k) = A) /\ 0 < x) -> (abs` ((F` k) - A)) < x)
14	13	an1rs 547	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ 0 < x) /\ (F` k) = A) -> (abs` ((F` k) - A)) < x)
15	14	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ 0 < x) -> ((F` k) = A -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
16	15	a1dd 53	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ 0 < x) -> ((F` k) = A -> (M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
17	16	ralimdv 2172	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 0 < x) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A -> A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
18	17	imp 377	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ 0 < x) /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) -> A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
19	18	an1rs 547	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) /\ 0 < x) -> A.k e. (ZZ>=` M)(M <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
20	4, 5, 19	sylancr 526	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) /\ 0 < x) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
21	20	exp31 407	. . . . 5 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A -> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
22	21	a1dd 53	. . . 4 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))))
23	22	r19.21adv 2181	. . 3 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
24	23	imp 377	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
25		inss2 2813	. . . . . . . 8 |- (ZZ i^i (ZZ>=` M)) C_ (ZZ>=` M)
26	25	sseli 2617	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ i^i (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M))
27	26	a1i 8	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (k e. (ZZ i^i (ZZ>=` M)) -> k e. (ZZ>=` M)))
28		eleq1a 1966	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((F` k) = A -> (F` k) e. CC))
29	27, 28	imim12d 69	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) = A) -> (k e. (ZZ i^i (ZZ>=` M)) -> (F` k) e. CC)))
30	29	ralimdv2 2173	. . . 4 |- (A e. CC -> (A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A -> A.k e. (ZZ i^i (ZZ>=` M))(F` k) e. CC))
31	30	imp 377	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) -> A.k e. (ZZ i^i (ZZ>=` M))(F` k) e. CC)
32		uzssz 7599	. . . 4 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
33		ssid 2634	. . . 4 |- ZZ C_ ZZ
34		ssid 2634	. . . 4 |- (ZZ>=` M) C_ (ZZ>=` M)
35		climconsti.1	. . . 4 |- F e. _V
36	5, 32, 33, 5, 34, 32, 35	clm4i 8340	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ i^i (ZZ>=` M))(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
37	31, 36	syldan 516	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
38	24, 37	mpbird 213	1 |- ((A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) = A) -> F ~~> A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climconst2 8355  climconst3 8356  ef0lem 8572

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain