MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climconst2 Structured version   Unicode version

Theorem climconst2 13137
Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climconst2.1  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  Z
climconst2.2  |-  Z  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
climconst2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( Z  X.  { A } )  ~~>  A )

Proof of Theorem climconst2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 climconst2.2 . . . 4  |-  Z  e. 
_V
4 snex 4634 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
53, 4xpex 6611 . . 3  |-  ( Z  X.  { A }
)  e.  _V
65a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( Z  X.  { A } )  e.  _V )
7 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
8 climconst2.1 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  Z
98sseli 3453 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
10 fvconst2g 6033 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( Z  X.  { A } ) `  k )  =  A )
117, 9, 10syl2an 477 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )  ->  ( ( Z  X.  { A }
) `  k )  =  A )
121, 2, 6, 7, 11climconst 13132 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( Z  X.  { A } )  ~~>  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   {csn 3978   class class class wbr 4393    X. cxp 4939   ` cfv 5519   CCcc 9384   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965    ~~> cli 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077
This theorem is referenced by:  climz  13138  serclim0  13166  climaddc1  13223  climmulc2  13225  climsubc1  13226  climsubc2  13227  climlec2  13247  iseraltlem1  13270  supcvg  13429  plyeq0lem  21804  ulmdvlem1  21991  basellem7  22550  basellem9  22552  dchrisumlema  22863  dchrisumlem3  22866  prodfclim1  27545
  Copyright terms: Public domain W3C validator