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Theorem climcndslem2 12585
Description: Lemma for climcnds 12586: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem2
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  1
) )
2 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ 1 ) )
3 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
4 exp1 11342 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
53, 4ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
62, 5syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ x )  =  2 )
76fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) )
87oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) )
91, 8breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  1
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  2 )
) ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) ) ) )
11 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
) )
12 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ j ) )
1312fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )
1413oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) )
1511, 14breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) ) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) ) ) ) )
17 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
18 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
1918fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
2019oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
2117, 20breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
2221imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
23 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
) )
24 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ x )  =  ( 2 ^ N ) )
2524fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) )
2625oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  =  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) )
2723, 26breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 x )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) ) )
2827imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  x
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 N )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) ) ) )
29 1nn 9967 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
30 climcnds.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
3130ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k ) )
32 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
3332breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
0  <_  ( F `  k )  <->  0  <_  ( F `  1 ) ) )
3433rspcv 3008 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  0  <_  ( F `  k )  ->  0  <_  ( F `  1
) ) )
3529, 31, 34mpsyl 61 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  1 ) )
36 2nn 10089 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
37 climcnds.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
3837ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
39 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
2 ) )
4039eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  2 )  e.  RR ) )
4140rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  2 )  e.  RR ) )
4236, 38, 41mpsyl 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  e.  RR )
4332eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4443rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4529, 38, 44mpsyl 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4642, 45addge02d 9571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  2 )  <_  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) )
4735, 46mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  <_  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) )
4845, 42readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  e.  RR )
49 2re 10025 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
50 2pos 10038 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
5251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
53 lemul2 9819 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  2
)  e.  RR  /\  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( F `  2 )  <_  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) )  <->  ( 2  x.  ( F `  2
) )  <_  (
2  x.  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) ) ) )
5442, 48, 52, 53syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
2 )  <_  (
( F `  1
)  +  ( F `
 2 ) )  <-> 
( 2  x.  ( F `  2 )
)  <_  ( 2  x.  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) ) )
5547, 54mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( F `  2 )
)  <_  ( 2  x.  ( ( F `
 1 )  +  ( F `  2
) ) ) )
56 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
57 1nn0 10193 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
58 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5958ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
60 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
1 ) )
61 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 1 ) )
6261, 5syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
2 ^ n )  =  2 )
6362fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
2 ) )
6462, 63oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 2  x.  ( F `  2
) ) )
6560, 64eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) ) )
6665rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) ) )
6757, 59, 66mpsyl 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  ( 2  x.  ( F ` 
2 ) ) )
6856, 67seq1i 11292 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  =  ( 2  x.  ( F `  2 )
) )
69 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
70 df-2 10014 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
71 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
7256, 71seq1i 11292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
73 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  2
)  =  ( F `
 2 ) )
7469, 29, 70, 72, 73seqp1i 11294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 2 )  =  ( ( F ` 
1 )  +  ( F `  2 ) ) )
7574oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) )  =  ( 2  x.  ( ( F `  1 )  +  ( F ` 
2 ) ) ) )
7655, 68, 753brtr4d 4202 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 1 )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  2
) ) )
77 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
7978nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
8059adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
81 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
82 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
8382fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8482, 83oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
8581, 84eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
8685rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
8779, 80, 86sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
88 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
8988adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
90 expp1 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  x.  2 ) )
913, 89, 90sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  x.  2 ) )
92 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
9336, 88, 92sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2 ^ j )  e.  NN )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
9594nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  CC )
96 mulcom 9032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ j
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ j ) ) )
9795, 3, 96sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
2 ^ j ) ) )
9891, 97eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( 2  x.  (
2 ^ j ) ) )
9998oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2 ^ j
) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
1003a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
101 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
10236, 79, 101sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
10338adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
104 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
105104eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
106105rspcv 3008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
107102, 103, 106sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
108107recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
109100, 95, 108mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  ( 2 ^ j ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
11087, 99, 1093eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  =  ( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
11194nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e. 
NN0 )
112 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  =  ( 2 ^ j ) )
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  =  ( 2 ^ j ) )
114113, 95eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  e.  CC )
115 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e. 
Fin )
116 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e. 
NN0 )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  NN0 )
118117nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
119 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
120119nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
121 uzid 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
123 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j )
)
124 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
125 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  2
126124, 49, 125ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <_  2
127 leexp2a 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
) )  ->  (
2 ^ j )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
12849, 126, 127mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
129122, 123, 1283syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
13094, 69syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
131102nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
132 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ j
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <-> 
( 2 ^ j
)  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
133130, 131, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( 2 ^ j )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
134129, 133mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
135 fzsplit 11033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  (
1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
137136fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (
# `  ( (
1 ... ( 2 ^ j ) )  u.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
13895times2d 10167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ j )  +  ( 2 ^ j ) ) )
13991, 138eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ j )  +  ( 2 ^ j ) ) )
140102nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e. 
NN0 )
141 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
143113oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( 2 ^ j
) ) )  +  ( 2 ^ j
) )  =  ( ( 2 ^ j
)  +  ( 2 ^ j ) ) )
144139, 142, 1433eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2 ^ j ) ) )
145 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  e. 
Fin )
14694nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  e.  RR )
147146ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  < 
( ( 2 ^ j )  +  1 ) )
148 fzdisj 11034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2 ^ j )  <  ( ( 2 ^ j )  +  1 )  ->  (
( 1 ... (
2 ^ j ) )  i^i  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )
149147, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  i^i  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )
150 hashun 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... (
2 ^ j ) )  e.  Fin  /\  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  i^i  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( 2 ^ j ) )  u.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  +  (
# `  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
151145, 115, 149, 150syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( # `  ( ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  u.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
152137, 144, 1513eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( 2 ^ j
) ) )  +  ( 2 ^ j
) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( 2 ^ j ) ) )  +  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
153114, 95, 118, 152addcanad 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ j )  =  ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
154153oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
155 fsumconst 12528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
156115, 108, 155syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
157154, 156eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
158107adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
159 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
160159adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
161 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ j )  e.  NN  ->  (
( 2 ^ j
)  +  1 )  e.  NN )
16294, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN )
163 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ j )  +  1 ) ) )
16469uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ) )  -> 
k  e.  NN )
165162, 163, 164syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
166160, 165, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
167 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  n
) )
169 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ph )
170 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ j )  +  1 ) ) )
17169uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
172162, 170, 171syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
173 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( n ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
17469uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  NN )
175172, 173, 174syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
176169, 175, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
177 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
178 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( n ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
179172, 178, 174syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
180 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
181177, 179, 180syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  (
( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( n ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
182168, 176, 181monoord2 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n ) )
183182ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )
)
184 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
185184breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k )
) )
186185rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  n )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k ) )
187183, 186sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  <_  ( F `  k ) )
188115, 158, 166, 187fsumle 12533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )
189157, 188eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )
190146, 107remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
191115, 166fsumrecl 12483 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR )
19251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
193 lemul2 9819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  <-> 
( 2  x.  (
( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) )
194190, 191, 192, 193syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ j
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
)  <->  ( 2  x.  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_  (
2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
195189, 194mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( 2 ^ j )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )  <_ 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
196110, 195eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
19756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
198 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
199 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
200 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
20136, 199, 200sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
202201nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
20338adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
204 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
205204eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
206205rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
207201, 203, 206sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
208202, 207remulcld 9072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
20958, 208eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
210198, 209sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  e.  RR )
21169, 197, 210serfre 11307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
212211ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
213210ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR )
214213adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR )
21581eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  e.  RR  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
216215rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( G `  n )  e.  RR  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
21778, 214, 216sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )
21869, 197, 37serfre 11307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR )
219 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> RR  /\  (
2 ^ j )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  e.  RR )
220218, 93, 219syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  e.  RR )
221 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
22249, 220, 221sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR )
223 remulcl 9031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )  e.  RR )
22449, 191, 223sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) )  e.  RR )
225 le2add 9466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )  /\  (
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  /\  ( G `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
226212, 217, 222, 224, 225syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  <_ 
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  /\  ( G `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )  -> 
( (  seq  1
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x. 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
227196, 226mpan2d 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 j )  +  ( G `  (
j  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) ) )
228119, 69syl6eleq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
229 seqp1 11293 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
230228, 229syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
231 fzfid 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e. 
Fin )
232 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
23337recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
234159, 232, 233syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
235149, 136, 231, 234fsumsplit 12488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
236 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
237102, 69syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
238236, 237, 234fsumser 12479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
239 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
240 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j
) )  ->  k  e.  NN )
241159, 240, 233syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
242239, 130, 241fsumser 12479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2 ^ j ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) ) )
243242oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2 ^ j ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ j ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) )
244235, 238, 2433eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( 2 ^ j
) )  +  sum_ k  e.  ( (
( 2 ^ j
)  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )
245244oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
246220recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  e.  CC )
247191recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k )  e.  CC )
248100, 246, 247adddid 9068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) )  +  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) )
249245, 248eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k ) ) ) )
250230, 249breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  +  ( 2  x.  sum_ k  e.  ( ( ( 2 ^ j )  +  1 ) ... ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  k
) ) ) ) )
251227, 250sylibrd 226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j )  <_  (
2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ j ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
252251expcom 425 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
253252a2d 24 . . 3  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  j
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ j ) ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  ( j  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25410, 16, 22, 28, 76, 253nnind 9974 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  N )  <_  ( 2  x.  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
2 ^ N ) ) ) ) )
255254impcom 420 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  N
)  <_  ( 2  x.  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( 2 ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   #chash 11573   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  climcnds  12586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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