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Theorem climcndslem1 13746
Description: Lemma for climcnds 13748: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2 0p1e1 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
31, 2syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
43oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ 1 ) )
5 2cn 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6 exp1 12157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
8 df-2 10590 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
97, 8eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
104, 9syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1110oveq1d 6285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  - 
1 ) )
12 ax-1cn 9539 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1312, 12pncan3oi 9827 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
1411, 13syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  1 )
1514fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  1
) )
16 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
) )
1715, 16breq12d 4452 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  1 )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 0 ) ) )
1817imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) ` 
0 ) ) ) )
19 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2019oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
2120oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
2221fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
23 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
) )
2422, 23breq12d 4452 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )
) )
2524imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  j ) ) ) )
26 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( j  +  1 )  +  1 ) )
2726oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
2928fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
30 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
3129, 30breq12d 4452 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( j  +  1 ) ) ) )
3231imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
33 oveq1 6277 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3433oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) )
3534oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )
3635fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
37 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  N
) )
3836, 37breq12d 4452 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  N )
) )
3938imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  N ) ) ) )
40 1nn 10542 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
41 climcnds.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
4241ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
43 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
4443eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4544rspcv 3203 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4640, 42, 45mpsyl 63 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4746leidd 10115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( F `  1 ) )
4846recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
4948mulid2d 9603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( F `  1 )
)  =  ( F `
 1 ) )
5047, 49breqtrrd 4465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
51 1z 10890 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
52 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5351, 52seq1i 12106 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
54 0z 10871 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
55 0nn0 10806 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
56 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5756ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
58 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
59 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 0 ) )
60 exp0 12155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
615, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
6259, 61syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  1 )
6362fveq2d 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
1 ) )
6462, 63oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  1
) ) )
6558, 64eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6665rspcv 3203 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6755, 57, 66mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
6854, 67seq1i 12106 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) )
6950, 53, 683brtr4d 4469 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) ` 
0 ) )
70 fzfid 12068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
71 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ph )
7271adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
73 2nn 10689 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
74 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
7574adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
76 nnexpcl 12164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
7773, 75, 76sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
78 elfzuz 11687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
79 eluznn 11153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
8077, 78, 79syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
8172, 80, 41syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8242adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
83 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8483eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8584rspcv 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8677, 82, 85sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8786adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
88 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
89 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ph )
9077adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
91 elfzuz 11687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9290, 91, 79syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  k  e.  NN )
9389, 92, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
94 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ph )
95 elfzuz 11687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9690, 95, 79syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
97 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
9894, 96, 97syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
9988, 93, 98monoord2 12123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10099ralrimiva 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
101 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
102101breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
103102rspccva 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
104100, 78, 103syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10570, 81, 87, 104fsumle 13698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
106 fzfid 12068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
107 hashcl 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
109108nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
11077nnred 10546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
111110recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
112 hashcl 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
11370, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
114113nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  CC )
115 2z 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
116 zexpcl 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )
117115, 75, 116sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
118 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
119118adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
120 nnuz 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
121119, 120syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
122 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
123 1le2 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
124 leexp2a 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
2 ^ 1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
125122, 123, 124mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
126121, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
1277, 126syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  2  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
128115eluz1i 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
129117, 127, 128sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
130 uz2m1nn 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
132131, 120syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
133 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
134117, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
135 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
13675, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
137 zexpcl 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
138115, 136, 137sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
139 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
140138, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
141117zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
142138zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
143 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
14475nn0zd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
145 uzid 11096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )
146 peano2uz 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
147 leexp2a 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  <_  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
148122, 123, 147mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
149144, 145, 146, 1484syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
150141, 142, 143, 149lesub1dd 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
151 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
152134, 140, 150, 151syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
153 elfzuzb 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
154132, 152, 153sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
155 fzsplit 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
157 npcan 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
158111, 12, 157sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
159158oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
160159uneq2d 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )
161156, 160eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
162161fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
163 expp1 12158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
1645, 75, 163sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
165111times2d 10778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
166164, 165eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
167166oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  -  1 ) )
168 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
169111, 111, 168addsubd 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
170167, 169eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
171 uztrn 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
172152, 132, 171syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
173172, 120syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
174173nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
175 hashfz1 12404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
177131nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
178 hashfz1 12404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )
179177, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
180179oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
181170, 176, 1803eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
182110ltm1d 10473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  < 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
183 fzdisj 11715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  (/) )
184182, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )
185 hashun 12436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  (
# `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
186106, 70, 184, 185syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
187162, 181, 1863eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
188109, 111, 114, 187addcanad 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
189188oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
19057adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
191 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
192 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
193192fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
194192, 193oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
195191, 194eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
196195rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
19775, 190, 196sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
19886recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
199 fsumconst 13690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
20070, 198, 199syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
201189, 197, 2003eqtr4d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
202105, 201breqtrrd 4465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
203 elfznn 11717 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
20471, 203, 41syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
205106, 204fsumrecl 13641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
20670, 81fsumrecl 13641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
207 nn0uz 11116 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
208 0zd 10872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
209 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
210 nnexpcl 12164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
21173, 209, 210sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
212211nnred 10546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
21342adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
214 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
215214eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
216215rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
217211, 213, 216sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
218212, 217remulcld 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
21956, 218eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
220207, 208, 219serfre 12121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
221220ffvelrnda 6007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
222141, 86remulcld 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
223197, 222eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
224 le2add 10030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )  /\  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) )  <_  (
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
225205, 206, 221, 223, 224syl22anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
226202, 225mpan2d 672 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
227 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
22841recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
22971, 203, 228syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
230227, 132, 229fsumser 13637 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
231230eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )
232231breq1d 4449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
) ) )
233 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
234 elfznn 11717 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
23571, 234, 228syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
236233, 172, 235fsumser 13637 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
237 fzfid 12068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
238184, 161, 237, 235fsumsplit 13647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) ) )
239236, 238eqtr3d 2497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) ) )
240 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  NN0 )
241240, 207syl6eleq 2552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
242 seqp1 12107 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
243241, 242syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
244239, 243breq12d 4452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k ) )  <_  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
245226, 232, 2443imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
246245expcom 433 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
247246a2d 26 . . 3  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )
)  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
24818, 25, 32, 39, 69, 247nn0ind 10955 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  N ) ) )
249248impcom 428 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12092   ^cexp 12151   #chash 12390   sum_csu 13593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594
This theorem is referenced by:  climcnds  13748
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