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Theorem climcndslem1 13297
Description: Lemma for climcnds 13299: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2 0p1e1 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
31, 2syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
43oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ 1 ) )
5 2cn 10382 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6 exp1 11857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
8 df-2 10370 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
97, 8eqtri 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
104, 9syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1110oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  - 
1 ) )
12 ax-1cn 9330 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
13 pncan 9606 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1 )
1412, 12, 13mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
1511, 14syl6eq 2483 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  1 )
1615fveq2d 5685 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  1
) )
17 fveq2 5681 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  0
) )
1816, 17breq12d 4295 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  1 )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 0 ) ) )
1918imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) ` 
0 ) ) ) )
20 oveq1 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2120oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
2221oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
2322fveq2d 5685 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
24 fveq2 5681 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
) )
2523, 24breq12d 4295 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )
) )
2625imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  j ) ) ) )
27 oveq1 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( j  +  1 )  +  1 ) )
2827oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
2928oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
3029fveq2d 5685 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
31 fveq2 5681 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
3230, 31breq12d 4295 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  ( j  +  1 ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
34 oveq1 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3534oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) )
3635oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )
3736fveq2d 5685 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
38 fveq2 5681 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  N
) )
3937, 38breq12d 4295 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  N )
) )
4039imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  N ) ) ) )
41 1nn 10323 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
42 climcnds.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
4342ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
44 fveq2 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
4544eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4645rspcv 3060 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4741, 43, 46mpsyl 63 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4847leidd 9896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( F `  1 ) )
4947recnd 9402 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
5049mulid2d 9394 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( F `  1 )
)  =  ( F `
 1 ) )
5148, 50breqtrrd 4308 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
52 1z 10666 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
53 eqidd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5452, 53seq1i 11806 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
55 0z 10647 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
56 0nn0 10584 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
57 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5857ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
59 fveq2 5681 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
60 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 0 ) )
61 exp0 11855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
625, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
6360, 62syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  1 )
6463fveq2d 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
1 ) )
6563, 64oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  1
) ) )
6659, 65eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6766rspcv 3060 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6856, 58, 67mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
6955, 68seq1i 11806 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `
 0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) )
7051, 54, 693brtr4d 4312 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) ` 
0 ) )
71 fzfid 11781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
72 simpl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ph )
7372adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
74 2nn 10469 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
75 peano2nn0 10610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
7675adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
77 nnexpcl 11864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
7874, 76, 77sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
79 elfzuz 11438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
80 eluznn 10915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
8178, 79, 80syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
8273, 81, 42syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8343adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
84 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8584eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8685rspcv 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8778, 83, 86sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8887adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
89 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
90 simplll 752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ph )
9178adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
92 elfzuz 11438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9391, 92, 80syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  k  e.  NN )
9490, 93, 42syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
95 simplll 752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ph )
96 elfzuz 11438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9791, 96, 80syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
98 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
9995, 97, 98syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
10089, 94, 99monoord2 11823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
101100ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
102 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
103102breq1d 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
104103rspccva 3063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
105101, 79, 104syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10671, 82, 88, 105fsumle 13247 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
107 fzfid 11781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
108 hashcl 12112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
110109nn0cnd 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
11178nnred 10327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
112111recnd 9402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
113 hashcl 12112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
11471, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
115114nn0cnd 10628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  CC )
116 2z 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
117 zexpcl 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )
118116, 76, 117sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
119 nn0p1nn 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
120119adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
121 nnuz 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
122120, 121syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
123 2re 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
124 1le2 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
125 leexp2a 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
2 ^ 1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
126123, 124, 125mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
127122, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
1287, 127syl5eqbrr 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  2  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
129116eluz1i 10858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
130118, 128, 129sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
131 uz2m1nn 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
133132, 121syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
134 peano2zm 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
135118, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
136 peano2nn0 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
13776, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
138 zexpcl 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
139116, 137, 138sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
140 peano2zm 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
142118zred 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
143139zred 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
144 1red 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
14576nn0zd 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
146 uzid 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )
147 peano2uz 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
148 leexp2a 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  <_  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
149123, 124, 148mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
150145, 146, 147, 1494syl 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
151142, 143, 144, 150lesub1dd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
152 eluz2 10857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
153135, 141, 151, 152syl3anbrc 1167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
154 elfzuzb 11436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
155133, 153, 154sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
156 fzsplit 11464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
158 npcan 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
159112, 12, 158sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
160159oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
161160uneq2d 3500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )
162157, 161eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
163162fveq2d 5685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
164 expp1 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
1655, 76, 164sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
166112times2d 10558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
167165, 166eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
168167oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  -  1 ) )
16912a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
170112, 112, 169addsubd 9730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
171168, 170eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
172 uztrn 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
173153, 133, 172syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
174173, 121syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
175174nnnn0d 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
176 hashfz1 12103 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
178132nnnn0d 10626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
179 hashfz1 12103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )
180178, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
181180oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
182171, 177, 1813eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
183111ltm1d 10255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  < 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
184 fzdisj 11465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  (/) )
185183, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )
186 hashun 12131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  (
# `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
187107, 71, 185, 186syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
188163, 182, 1873eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
189110, 112, 115, 188addcanad 9564 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
190189oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
19158adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
192 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
193 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
194193fveq2d 5685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
195193, 194oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
196192, 195eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
197196rspcv 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
19876, 191, 197sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
19987recnd 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
200 fsumconst 13242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
20171, 199, 200syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
202190, 198, 2013eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
203106, 202breqtrrd 4308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
204 elfznn 11467 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
20572, 204, 42syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
206107, 205fsumrecl 13197 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
20771, 82fsumrecl 13197 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
208 nn0uz 10885 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
209 0zd 10648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
210 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
211 nnexpcl 11864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
21274, 210, 211sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
213212nnred 10327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
21443adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
215 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
216215eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
217216rspcv 3060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
218212, 214, 217sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
219213, 218remulcld 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
22057, 219eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
221208, 209, 220serfre 11821 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
222221ffvelrnda 5833 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
223142, 87remulcld 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
224198, 223eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
225 le2add 9811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )  /\  ( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) )  <_  (
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
226206, 207, 222, 224, 225syl22anc 1214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
227203, 226mpan2d 669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
228 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
22942recnd 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
23072, 204, 229syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
231228, 133, 230fsumser 13193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
232231eqcomd 2440 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )
233232breq1d 4292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
) ) )
234 eqidd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
235 elfznn 11467 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
23672, 235, 229syl2an 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
237234, 173, 236fsumser 13193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
238 fzfid 11781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
239185, 162, 238, 236fsumsplit 13202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) ) )
240237, 239eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) ) )
241 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  NN0 )
242241, 208syl6eleq 2525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
243 seqp1 11807 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
244242, 243syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
245240, 244breq12d 4295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k ) )  <_  ( (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
246227, 233, 2453imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  j
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
247246expcom 435 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
248247a2d 26 . . 3  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  (  seq 1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0
(  +  ,  G
) `  j )
)  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
24919, 26, 33, 40, 70, 248nn0ind 10728 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq 0 (  +  ,  G ) `  N ) ) )
250249impcom 430 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq 0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757   A.wral 2707    u. cun 3316    i^i cin 3317   (/)c0 3627   class class class wbr 4282   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   Fincfn 7300   CCcc 9270   RRcr 9271   0cc0 9272   1c1 9273    + caddc 9275    x. cmul 9277    < clt 9408    <_ cle 9409    - cmin 9585   NNcn 10312   2c2 10361   NN0cn0 10569   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   ...cfz 11426    seqcseq 11792   ^cexp 11851   #chash 12089   sum_csu 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-oadd 6914  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-cda 8327  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-rp 10982  df-ico 11296  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-seq 11793  df-exp 11852  df-hash 12090  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-clim 12952  df-sum 13150
This theorem is referenced by:  climcnds  13299
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