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Theorem climcndslem1 12584
Description: Lemma for climcnds 12586: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcnds.1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
climcnds.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
climcnds.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcndslem1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem1
Dummy variables  j  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2 0p1e1 10049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  =  1
31, 2syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
43oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ 1 ) )
5 2cn 10026 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
6 exp1 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
8 df-2 10014 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
97, 8eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
104, 9syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1110oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  - 
1 ) )
12 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
13 pncan 9267 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1 )
1412, 12, 13mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
1511, 14syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  1 )
1615fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  1
) )
17 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
) )
1816, 17breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  1
)  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
) ) )
1918imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 0 ) ) ) )
20 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  j  ->  (
x  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
2120oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  j  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
2221oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( x  =  j  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
2322fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
24 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) )
2523, 24breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) ) )
2625imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  j  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j ) ) ) )
27 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( j  +  1 )  +  1 ) )
2827oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
2928oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
3029fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
31 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) )
3230, 31breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
3332imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
34 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3534oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( 2 ^ ( N  +  1 ) ) )
3635oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )
3736fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) ) )
38 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
)  =  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) )
3937, 38breq12d 4185 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( x  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 x )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) ) )
4039imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  x
) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 N ) ) ) )
41 1nn 9967 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
42 climcnds.1 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
4342ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
44 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
4544eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4645rspcv 3008 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  1 )  e.  RR ) )
4741, 43, 46mpsyl 61 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR )
4847leidd 9549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( F `  1 ) )
4947recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  CC )
5049mulid2d 9062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( F `  1 )
)  =  ( F `
 1 ) )
5148, 50breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  <_  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
52 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
53 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
5452, 53seq1i 11292 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  =  ( F `  1
) )
55 0z 10249 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
56 0nn0 10192 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
57 climcnds.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
5857ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  (
2 ^ n ) ) ) )
59 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( G `  n )  =  ( G ` 
0 ) )
60 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 0 ) )
61 exp0 11341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
625, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
6360, 62syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
2 ^ n )  =  1 )
6463fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F ` 
1 ) )
6563, 64oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( 1  x.  ( F `  1
) ) )
6659, 65eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6766rspcv 3008 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) ) )
6856, 58, 67mpsyl 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( 1  x.  ( F ` 
1 ) ) )
6955, 68seq1i 11292 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `
 0 )  =  ( 1  x.  ( F `  1 )
) )
7051, 54, 693brtr4d 4202 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 1 )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 0 ) )
71 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
72 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ph )
7372adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ph )
74 2nn 10089 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
75 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
7675adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e. 
NN0 )
77 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN )
7874, 76, 77sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
79 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
80 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8180uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
k  e.  NN )
8278, 79, 81syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
8373, 82, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
8443adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
85 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
8685eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8786rspcv 3008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
8878, 84, 87sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8988adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
90 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
91 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ph )
9278adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  NN )
93 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9492, 93, 81syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  k  e.  NN )
9591, 94, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... n ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
96 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ph )
97 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
9892, 97, 81syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
99 climcnds.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( F `  k
) )
10096, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  /\  k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( n  - 
1 ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )
)
10190, 95, 100monoord2 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
102101ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
103 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
104103breq1d 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
105104rspccva 3011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  (
ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ( F `  n )  <_  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
106102, 79, 105syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
10771, 83, 89, 106fsumle 12533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
108 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
109 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
111110nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
11278nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
113112recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  CC )
114 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
11571, 114syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
116115nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  CC )
117 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
118 zexpcl 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  ZZ )
119117, 76, 118sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ )
120 nn0p1nn 10215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
121120adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
122121, 80syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
123 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  RR
124 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  RR
125 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
126124, 123, 125ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
127 leexp2a 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
2 ^ 1 )  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
128123, 126, 127mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
129122, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ 1 )  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
1307, 129syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  2  <_  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
131117eluz1i 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
132119, 130, 131sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
133 uz2m1nn 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
135134, 80syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
136 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
137119, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
138 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
13976, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
140 zexpcl 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
141117, 139, 140sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
142 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
144119zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  e.  RR )
145141zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
146124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
14776nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ZZ )
148 uzid 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )
149147, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
150 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( (
j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( j  +  1 ) ) )
151 leexp2a 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( j  +  1 ) )  <_  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) ) )
152123, 126, 151mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( j  +  1 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
j  +  1 ) )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
153149, 150, 1523syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  <_ 
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) ) )
154144, 145, 146, 153lesub1dd 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
155 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
156137, 143, 154, 155syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
157 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
158135, 156, 157sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
159 fzsplit 11033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
161 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
162113, 12, 161sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
163162oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
164163uneq2d 3461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  1 ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )
165160, 164eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  =  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
166165fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
167 expp1 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
1685, 76, 167sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 ) )
169113times2d 10167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
170168, 169eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
171170oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  -  1 ) )
17212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
173113, 113, 172addsubd 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
174171, 173eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
175 uztrn 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
176156, 135, 175syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
177176, 80syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
178177nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
179 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )
180178, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )
181134nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  e. 
NN0 )
182 hashfz1 11585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )
183181, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )
184183oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
185174, 180, 1843eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
186112ltm1d 9899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 )  < 
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )
187 fzdisj 11034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 )  <  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  ->  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  (/) )
188186, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) )  i^i  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )
189 hashun 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  i^i  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  (
# `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
190108, 71, 188, 189syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( # `  (
( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  u.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
191166, 185, 1903eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  +  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ) )
192111, 113, 116, 191addcanad 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  =  ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
193192oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
19458adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  NN0  ( G `  n )  =  ( ( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) ) )
195 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( G `  n )  =  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
196 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )
197196fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  =  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )
198196, 197oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ n
)  x.  ( F `
 ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
199195, 198eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( G `  n
)  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
200199rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN0  ( G `
 n )  =  ( ( 2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
20176, 194, 200sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
20288recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  e.  CC )
203 fsumconst 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
20471, 202, 203syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( # `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  x.  ( F `
 ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) ) )
205193, 201, 2043eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ) )
206107, 205breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )
207 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
20872, 207, 42syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
209108, 208fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
21071, 83fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )
211 nn0uz 10476 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
21255a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
213 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
214 nnexpcl 11349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
21574, 213, 214sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
216215nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ n )  e.  RR )
21743adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR )
218 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )
219218eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( 2 ^ n )  ->  (
( F `  k
)  e.  RR  <->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR ) )
220219rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ n )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  RR  ->  ( F `  ( 2 ^ n ) )  e.  RR ) )
221215, 217, 220sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( 2 ^ n
) )  e.  RR )
222216, 221remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ n )  x.  ( F `  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
22357, 222eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( G `  n )  e.  RR )
224211, 212, 223serfre 11307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G ) : NN0 --> RR )
225224ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  e.  RR )
226144, 88remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( F `  ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
227201, 226eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
228 le2add 9466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  e.  RR )  /\  ( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  e.  RR  /\  ( G `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) )  <_  (
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 j )  +  ( G `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
229209, 210, 225, 227, 228syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  /\  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  ( G `  ( j  +  1 ) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
230206, 229mpan2d 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )  <_ 
( (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
231 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
23242recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
23372, 207, 232syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
234231, 135, 233fsumser 12479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) )
235234eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) )
236235breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
) ) )
237 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
238 elfznn 11036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
23972, 238, 232syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
240237, 176, 239fsumser 12479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) )
241 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
242188, 165, 241, 239fsumsplit 12488 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
)  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) ) ... (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k ) ) )
243240, 242eqtr3d 2438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( ( 2 ^ (
j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k
) ) )
244 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  NN0 )
245244, 211syl6eleq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
246 seqp1 11293 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
247245, 246syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j )  +  ( G `  ( j  +  1 ) ) ) )
248243, 247breq12d 4185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) ) ( F `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) ) ( F `  k ) )  <_  ( (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  +  ( G `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
249230, 236, 2483imtr4d 260 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  j
)  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ (
( j  +  1 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
250249expcom 425 . . . 4  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
251250a2d 24 . . 3  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( (
2 ^ ( j  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  j )
)  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
25219, 26, 33, 40, 70, 251nn0ind 10322 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
(  seq  0 (  +  ,  G ) `
 N ) ) )
253252impcom 420 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  (
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   #chash 11573   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  climcnds  12586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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