MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcn1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem climcn1 13732
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
climcn1.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
climcn1.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn1.6  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
climcn1.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
climcn1.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
climcn1.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, A    B, k, z    k, G, y, z    k, H, x   
k, F, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, Z, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    G( x)    H( y, z)    M( x, y, z, k)    W( x, y, z, k)    Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2 climcn1.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
5 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 13652 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
102uztrn2 11200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
1211adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
13 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
z  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
1413fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
1514breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
16 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
1716oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) )  -  ( F `  A ) ) )
1817fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  A ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) ) )
1918breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2015, 19imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) ) )
2120rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2212, 21sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2322an32s 821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2410, 23sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2524anassrs 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2625ralimdva 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2726reximdva 2858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
2827ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) ) )
299, 28mpid 41 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3029rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3130adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  A )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
321, 31mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
3332ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
34 climcn1.6 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
35 climcn1.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
36 climcn1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
37 climcn1.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3837ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
39 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
4039eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  A )  e.  CC ) )
4140rspcv 3132 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC  ->  ( F `  A )  e.  CC ) )
4236, 38, 41sylc 61 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
4338adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
4416eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  ( G `  k
) )  e.  CC ) )
4544rspcv 3132 . . . 4  |-  ( ( G `  k )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC ) )
4611, 43, 45sylc 61 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC )
472, 3, 34, 35, 42, 46clim2c 13646 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( F `
 A )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
4833, 47mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555    < clt 9693    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   abscabs 13374    ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-neg 9883  df-z 10962  df-uz 11183  df-clim 13629
This theorem is referenced by:  climcn1lem  13743  climcncf  22010  climrec  37778
  Copyright terms: Public domain W3C validator