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Theorem climcn1 13069
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
climcn1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
climcn1.3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
climcn1.4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
climcn1.5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
climcn1.6  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
climcn1.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
climcn1.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
climcn1.9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
climcn1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, z, A    B, k, z    k, G, y, z    k, H, x   
k, F, x, y, z    ph, k, x, y, z    k, Z, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    G( x)    H( y, z)    M( x, y, z, k)    W( x, y, z, k)    Z( x, z)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2 climcn1.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
5 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  y  e.  RR+ )
6 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  ~~>  A )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  G  ~~>  A )
92, 4, 5, 6, 8climi2 12989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y )
102uztrn2 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
1211adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  e.  B )
13 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
z  -  A )  =  ( ( G `
 k )  -  A ) )
1413fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  =  ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) ) )
1514breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y
) )
16 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
1716oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) )  -  ( F `  A ) ) )
1817fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  A ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) ) )
1918breq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2015, 19imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  <-> 
( ( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) ) )
2120rspcva 3071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2212, 21sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  k  e.  Z )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2322an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2410, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2524anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( G `
 k )  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2625ralimdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A ) )  <  y  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
2726reximdva 2828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( G `  k )  -  A
) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
2827ex 434 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( G `  k
)  -  A ) )  <  y  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) ) )
299, 28mpid 41 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  B  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3029rexlimdva 2841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `
 k ) )  -  ( F `  A ) ) )  <  x ) )
3130adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  B  ( ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  A )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
321, 31mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
3332ralrimiva 2799 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  ( G `  k ) )  -  ( F `
 A ) ) )  <  x )
34 climcn1.6 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  W )
35 climcn1.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
36 climcn1.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
37 climcn1.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
3837ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
39 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
4039eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  A )  e.  CC ) )
4140rspcv 3069 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC  ->  ( F `  A )  e.  CC ) )
4236, 38, 41sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  CC )
4338adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC )
4416eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( z  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  <->  ( F `  ( G `  k
) )  e.  CC ) )
4544rspcv 3069 . . . 4  |-  ( ( G `  k )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  z )  e.  CC  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC ) )
4611, 43, 45sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  ( G `  k ) )  e.  CC )
472, 3, 34, 35, 42, 46clim2c 12983 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  ~~>  ( F `
 A )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  ( G `  k )
)  -  ( F `
 A ) ) )  <  x ) )
4833, 47mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280    < clt 9418    - cmin 9595   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   abscabs 12723    ~~> cli 12962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-neg 9598  df-z 10647  df-uz 10862  df-clim 12966
This theorem is referenced by:  climcn1lem  13080  climcncf  20476  climrec  29776
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