Theorem climcmpc1 8399

Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence.

Hypotheses

Ref	Expression
climcmpc1.1	|- F e. _V
climcmpc1.3	|- A e. _V
climcmpc1.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
climcmpc1	|- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)))) -> A <_ B)

Distinct variable groups:   A,k   B,k   k,F   k,M

Proof of Theorem climcmpc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climconst3 8356	. . . 4 |- ((A e. CC /\ M e. ZZ) -> ((ZZ>=` M) X. {A}) ~~> A)
2		recn 6466	. . . 4 |- (A e. RR -> A e. CC)
3	1, 2	sylan 497	. . 3 |- ((A e. RR /\ M e. ZZ) -> ((ZZ>=` M) X. {A}) ~~> A)
4	3	ad2ant2r 445	. 2 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)))) -> ((ZZ>=` M) X. {A}) ~~> A)
5		simplr 449	. 2 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)))) -> F ~~> B)
6		simprl 450	. 2 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)))) -> M e. ZZ)
7		fvconst2g 4820	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. (ZZ>=` M)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) = A)
8		simpl 346	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. (ZZ>=` M)) -> A e. RR)
9	7, 8	eqeltrd 1971	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ k e. (ZZ>=` M)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR)
10	9	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ k e. (ZZ>=` M)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR)
11	10	adantlr 429	. . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR)
12	11	adantr 425	. . . . . 6 |- (((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ ((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k))) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR)
13		simprl 450	. . . . . 6 |- (((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ ((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k))) -> (F` k) e. RR)
14	7	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ k e. (ZZ>=` M)) -> ((((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k) <-> A <_ (F` k)))
15	14	biimpar 461	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ A <_ (F` k)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k))
16	15	adantllr 433	. . . . . . . 8 |- ((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ A <_ (F` k)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k))
17	16	adantllr 433	. . . . . . 7 |- (((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ A <_ (F` k)) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k))
18	17	adantrl 430	. . . . . 6 |- (((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ ((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k))) -> (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k))
19	12, 13, 18	3jca 1050	. . . . 5 |- (((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) /\ ((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k))) -> ((((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k)))
20	19	ex 402	. . . 4 |- ((((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) /\ k e. (ZZ>=` M)) -> (((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)) -> ((((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k))))
21	20	ralimdvaa 2171	. . 3 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ M e. ZZ) -> (A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)) -> A.k e. (ZZ>=` M)((((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k))))
22	21	impr 422	. 2 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)))) -> A.k e. (ZZ>=` M)((((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k)))
23		fvex 4689	. . . 4 |- (ZZ>=` M) e. _V
24		snex 3492	. . . 4 |- {A} e. _V
25	23, 24	xpex 4096	. . 3 |- ((ZZ>=` M) X. {A}) e. _V
26		climcmpc1.1	. . 3 |- F e. _V
27		climcmpc1.3	. . 3 |- A e. _V
28		climcmpc1.4	. . 3 |- B e. _V
29	25, 26, 27, 28	climcmp 8398	. 2 |- (((((ZZ>=` M) X. {A}) ~~> A /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((((ZZ>=` M) X. {A})` k) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (((ZZ>=` M) X. {A})` k) <_ (F` k)))) -> A <_ B)
30	4, 5, 6, 22, 29	syl22anc 1101	1 |- (((A e. RR /\ F ~~> B) /\ (M e. ZZ /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. RR /\ A <_ (F` k)))) -> A <_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ` cfv 3998  CCcc 6384  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  minveclem31 9920

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain