Theorem climcl 8238

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers.

Assertion

Ref	Expression
climcl	|- ((A e. C /\ F ~~> A) -> A e. CC)

Proof of Theorem climcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim 8237	. . . . 5 |- ((F e. _V /\ A e. C) -> (F ~~> A <-> (A e. CC /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. CC /\ (abs` ((F` k) - A)) < x))))))
2	1	simprbda 464	. . . 4 |- (((F e. _V /\ A e. C) /\ F ~~> A) -> A e. CC)
3	2	ex 402	. . 3 |- ((F e. _V /\ A e. C) -> (F ~~> A -> A e. CC))
4		climrel 8236	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
5	4	brrelexi 4029	. . . . . 6 |- (F ~~> A -> F e. _V)
6	5	con3i 114	. . . . 5 |- (-. F e. _V -> -. F ~~> A)
7	6	pm2.21d 94	. . . 4 |- (-. F e. _V -> (F ~~> A -> A e. CC))
8	7	adantr 425	. . 3 |- ((-. F e. _V /\ A e. C) -> (F ~~> A -> A e. CC))
9	3, 8	pm2.61ian 534	. 2 |- (A e. C -> (F ~~> A -> A e. CC))
10	9	imp 377	1 |- ((A e. C /\ F ~~> A) -> A e. CC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  sumex 8241  climunii 8358  climreu 8361  climresi 8365  climshft2i 8366  iserzshft2i 8367  climrecl 8370  climaddlem2 8375  climaddc2 8379  climmullem7 8386  climsub 8390  clim2serz 8394  iserzshfti 8404  clim2serzi 8405  climabslem 8408  climcaui 8416  caucvg3lem 8426  serzf0i 8429  isumcl 8470

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain