Theorem climcaui 8416

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part).

Hypotheses

Ref	Expression
climcau.1	|- A e. _V
climcau.2	|- F ~~> A
climcau.3	|- F:NN-->CC

Assertion

Ref	Expression
climcaui	|- A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   y,A,z

Proof of Theorem climcaui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpos2 7223	. . . 4 |- (x e. RR -> (0 < x <-> 0 < (x / 2)))
2		rehalfcl 7220	. . . . 5 |- (x e. RR -> (x / 2) e. RR)
3		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (w = (x / 2) -> (0 < w <-> 0 < (x / 2)))
4		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (w = (x / 2) -> ((abs` ((F` v) - A)) < w <-> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)))
5	4	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (w = (x / 2) -> ((y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w) <-> (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))))
6	5	rexralbidv 2142	. . . . . . 7 |- (w = (x / 2) -> (E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w) <-> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))))
7	3, 6	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (w = (x / 2) -> ((0 < w -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w)) <-> (0 < (x / 2) -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)))))
8		climcau.2	. . . . . . 7 |- F ~~> A
9		climcau.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
10		1z 7368	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
11		nnuz 7608	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = (ZZ>=` 1)
12	11	eqimss2i 2669	. . . . . . . . . . 11 |- (ZZ>=` 1) C_ NN
13		nnssz 7360	. . . . . . . . . . 11 |- NN C_ ZZ
14	10, 12, 13	clmi2i 8347	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. _V /\ F ~~> A) /\ (w e. RR /\ 0 < w)) -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w))
15	9, 14	mpanl1 770	. . . . . . . . 9 |- ((F ~~> A /\ (w e. RR /\ 0 < w)) -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w))
16	15	exp32 408	. . . . . . . 8 |- (F ~~> A -> (w e. RR -> (0 < w -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w))))
17	16	r19.21aiv 2175	. . . . . . 7 |- (F ~~> A -> A.w e. RR (0 < w -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w)))
18	8, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- A.w e. RR (0 < w -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < w))
19	7, 18	vtoclri 2360	. . . . 5 |- ((x / 2) e. RR -> (0 < (x / 2) -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))))
20	2, 19	syl 12	. . . 4 |- (x e. RR -> (0 < (x / 2) -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))))
21	1, 20	sylbid 220	. . 3 |- (x e. RR -> (0 < x -> E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))))
22		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y < z -> y <_ z))
23		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> y e. RR)
24		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> z e. RR)
25	22, 23, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. NN /\ z e. NN) -> (y < z -> y <_ z))
26	25	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (y < z -> y <_ z))
27		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v = z -> (y <_ v <-> y <_ z))
28		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (v = z -> (F` v) = (F` z))
29	28	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v = z -> ((F` v) - A) = ((F` z) - A))
30	29	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v = z -> (abs` ((F` v) - A)) = (abs` ((F` z) - A)))
31	30	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v = z -> ((abs` ((F` v) - A)) < (x / 2) <-> (abs` ((F` z) - A)) < (x / 2)))
32	27, 31	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = z -> ((y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) <-> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - A)) < (x / 2))))
33	32	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN) -> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - A)) < (x / 2)))
34	33	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (y <_ z -> (abs` ((F` z) - A)) < (x / 2)))
35	26, 34	syld 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (y < z -> (abs` ((F` z) - A)) < (x / 2)))
36	35	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> (abs` ((F` z) - A)) < (x / 2))
37		abssub 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CC /\ (F` y) e. CC) -> (abs` (A - (F` y))) = (abs` ((F` y) - A)))
38		climcl 8238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. _V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
39	9, 8, 38	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A e. CC
40		climcau.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F:NN-->CC
41	40	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. NN -> (F` y) e. CC)
42	37, 39, 41	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> (abs` (A - (F` y))) = (abs` ((F` y) - A)))
43	42	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. NN /\ A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))) -> (abs` (A - (F` y))) = (abs` ((F` y) - A)))
44		leid 6701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. RR -> y <_ y)
45	23, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. NN -> y <_ y)
46		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v = y -> (y <_ v <-> y <_ y))
47		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (v = y -> (F` v) = (F` y))
48	47	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (v = y -> ((F` v) - A) = ((F` y) - A))
49	48	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (v = y -> (abs` ((F` v) - A)) = (abs` ((F` y) - A)))
50	49	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (v = y -> ((abs` ((F` v) - A)) < (x / 2) <-> (abs` ((F` y) - A)) < (x / 2)))
51	46, 50	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v = y -> ((y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) <-> (y <_ y -> (abs` ((F` y) - A)) < (x / 2))))
52	51	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. NN -> (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) -> (y <_ y -> (abs` ((F` y) - A)) < (x / 2))))
53	45, 52	mpid 58	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) -> (abs` ((F` y) - A)) < (x / 2)))
54	53	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. NN /\ A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))) -> (abs` ((F` y) - A)) < (x / 2))
55	43, 54	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. NN /\ A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2))) -> (abs` (A - (F` y))) < (x / 2))
56	55	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (abs` (A - (F` y))) < (x / 2))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> (abs` (A - (F` y))) < (x / 2))
58	36, 57	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. NN /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> ((abs` ((F` z) - A)) < (x / 2) /\ (abs` (A - (F` y))) < (x / 2)))
59	58	adantlll 432	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> ((abs` ((F` z) - A)) < (x / 2) /\ (abs` (A - (F` y))) < (x / 2)))
60		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` z) e. CC /\ A e. CC) -> ((F` z) - A) e. CC)
61	40	ffvelrni 4788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z e. NN -> (F` z) e. CC)
62	60, 61, 39	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z e. NN -> ((F` z) - A) e. CC)
63		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` z) - A) e. CC -> (abs` ((F` z) - A)) e. RR)
64	62, 63	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. NN -> (abs` ((F` z) - A)) e. RR)
65	64	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (abs` ((F` z) - A)) e. RR)
66		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ (F` y) e. CC) -> (A - (F` y)) e. CC)
67	66, 39, 41	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. NN -> (A - (F` y)) e. CC)
68		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A - (F` y)) e. CC -> (abs` (A - (F` y))) e. RR)
69	67, 68	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. NN -> (abs` (A - (F` y))) e. RR)
70	69	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (abs` (A - (F` y))) e. RR)
71	2	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (x / 2) e. RR)
72		lt2add 6827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((abs` ((F` z) - A)) e. RR /\ (abs` (A - (F` y))) e. RR) /\ ((x / 2) e. RR /\ (x / 2) e. RR)) -> (((abs` ((F` z) - A)) < (x / 2) /\ (abs` (A - (F` y))) < (x / 2)) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < ((x / 2) + (x / 2))))
73	65, 70, 71, 71, 72	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (((abs` ((F` z) - A)) < (x / 2) /\ (abs` (A - (F` y))) < (x / 2)) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < ((x / 2) + (x / 2))))
74	73	adantrl 430	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (((abs` ((F` z) - A)) < (x / 2) /\ (abs` (A - (F` y))) < (x / 2)) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < ((x / 2) + (x / 2))))
75	74	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> (((abs` ((F` z) - A)) < (x / 2) /\ (abs` (A - (F` y))) < (x / 2)) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < ((x / 2) + (x / 2))))
76	59, 75	mpd 29	. . . . . . . . 9 |- ((((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < ((x / 2) + (x / 2)))
77		recn 6466	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
78		2halves 7225	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CC -> ((x / 2) + (x / 2)) = x)
79	77, 78	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> ((x / 2) + (x / 2)) = x)
80	79	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. RR /\ y e. NN) -> ((x / 2) + (x / 2)) = x)
81	80	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> ((x / 2) + (x / 2)) = x)
82	76, 81	breqtrd 3361	. . . . . . . 8 |- ((((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) /\ y < z) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x)
83	82	ex 402	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (y < z -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x))
84		npncan 6560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` z) e. CC /\ A e. CC /\ (F` y) e. CC) -> (((F` z) - A) + (A - (F` y))) = ((F` z) - (F` y)))
85	39, 84	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` z) e. CC /\ (F` y) e. CC) -> (((F` z) - A) + (A - (F` y))) = ((F` z) - (F` y)))
86	85, 61, 41	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> (((F` z) - A) + (A - (F` y))) = ((F` z) - (F` y)))
87	86	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> (abs` (((F` z) - A) + (A - (F` y)))) = (abs` ((F` z) - (F` y))))
88		abstri 8150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((F` z) - A) e. CC /\ (A - (F` y)) e. CC) -> (abs` (((F` z) - A) + (A - (F` y)))) <_ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))))
89	88, 62, 67	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> (abs` (((F` z) - A) + (A - (F` y)))) <_ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))))
90	87, 89	eqbrtrrd 3359	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) <_ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))))
91	90	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. RR /\ z e. NN) /\ y e. NN) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) <_ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))))
92		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` z) e. CC /\ (F` y) e. CC) -> ((F` z) - (F` y)) e. CC)
93	92, 61, 41	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> ((F` z) - (F` y)) e. CC)
94		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` z) - (F` y)) e. CC -> (abs` ((F` z) - (F` y))) e. RR)
95	93, 94	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) e. RR)
96	95	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. RR /\ z e. NN) /\ y e. NN) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) e. RR)
97		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((abs` ((F` z) - A)) e. RR /\ (abs` (A - (F` y))) e. RR) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) e. RR)
98	97, 64, 69	syl2an 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. NN /\ y e. NN) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) e. RR)
99	98	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. RR /\ z e. NN) /\ y e. NN) -> ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) e. RR)
100		simpll 448	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. RR /\ z e. NN) /\ y e. NN) -> x e. RR)
101		lelttr 6693	. . . . . . . . . . 11 |- (((abs` ((F` z) - (F` y))) e. RR /\ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) e. RR /\ x e. RR) -> (((abs` ((F` z) - (F` y))) <_ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) /\ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))
102	96, 99, 100, 101	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. RR /\ z e. NN) /\ y e. NN) -> (((abs` ((F` z) - (F` y))) <_ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) /\ ((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x) -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))
103	91, 102	mpand 765	. . . . . . . . 9 |- (((x e. RR /\ z e. NN) /\ y e. NN) -> (((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))
104	103	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ z e. NN) -> (((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))
105	104	adantrl 430	. . . . . . 7 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (((abs` ((F` z) - A)) + (abs` (A - (F` y)))) < x -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))
106	83, 105	syld 30	. . . . . 6 |- (((x e. RR /\ y e. NN) /\ (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) /\ z e. NN)) -> (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))
107	106	exp32 408	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. NN) -> (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) -> (z e. NN -> (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))))
108	107	r19.21adv 2181	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. NN) -> (A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) -> A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x)))
109	108	reximdva 2203	. . 3 |- (x e. RR -> (E.y e. NN A.v e. NN (y <_ v -> (abs` ((F` v) - A)) < (x / 2)) -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x)))
110	21, 109	syld 30	. 2 |- (x e. RR -> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x)))
111	110	rgen 2159	1 |- A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y < z -> (abs` ((F` z) - (F` y))) < x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  cvgcmp3ci 8447

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain