Theorem climaddlem3 8376

Description: Lemma for climadd 8377. Warning: The HTML proof page is 3/4 megabyte in size.

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	|- F e. _V
climadd.2	|- G e. _V
climadd.3	|- H e. _V
climadd.4	|- A e. _V
climadd.5	|- B e. _V
climaddlem.6	|- (ph <-> ((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + (G` k)))))

Assertion

Ref	Expression
climaddlem3	|- ((M e. ZZ /\ ph) -> H ~~> (A + B))

Distinct variable groups:   k,F   k,G   k,H   k,M

Proof of Theorem climaddlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.4	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
2		0z 7355	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
3		nn0uz 7607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = (ZZ>=` 0)
4	3	eqimss2i 2669	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ZZ>=` 0) C_ NN0
5		uzssz 7599	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
6	2, 4, 5	clmi2i 8347	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. _V /\ F ~~> A) /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)))
7	1, 6	mpanl1 770	. . . . . . . . . . 11 |- ((F ~~> A /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)))
8		climadd.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. _V
9	2, 4, 5	clmi2i 8347	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. _V /\ G ~~> B) /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))
10	8, 9	mpanl1 770	. . . . . . . . . . 11 |- ((G ~~> B /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))
11	7, 10	anim12i 360	. . . . . . . . . 10 |- (((F ~~> A /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) /\ (G ~~> B /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2)))) -> (E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
12	11	anandirs 571	. . . . . . . . 9 |- (((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> (E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
13	12	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + (G` k)))) /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> (E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
14		climaddlem.6	. . . . . . . 8 |- (ph <-> ((F ~~> A /\ G ~~> B) /\ A.k e. (ZZ>=` M)((F` k) e. CC /\ (G` k) e. CC /\ (H` k) = ((F` k) + (G` k)))))
15	13, 14	sylanb 498	. . . . . . 7 |- ((ph /\ ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2))) -> (E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
16		rehalfcl 7220	. . . . . . . . 9 |- (v e. RR -> (v / 2) e. RR)
17	16	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((v e. RR /\ 0 < v) -> (v / 2) e. RR)
18		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
19		2pos 7173	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
20		divgt0 7037	. . . . . . . . 9 |- (((v e. RR /\ 0 < v) /\ (2 e. RR /\ 0 < 2)) -> 0 < (v / 2))
21	18, 19, 20	mpanr12 778	. . . . . . . 8 |- ((v e. RR /\ 0 < v) -> 0 < (v / 2))
22	17, 21	jca 310	. . . . . . 7 |- ((v e. RR /\ 0 < v) -> ((v / 2) e. RR /\ 0 < (v / 2)))
23	15, 22	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
24		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> t e. (ZZ>=` M))
25		nn0addge1 7339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ f e. NN0) -> u <_ (u + f))
26		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (u e. NN0 -> u e. RR)
27	25, 26	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> u <_ (u + f))
28	27	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. RR) -> u <_ (u + f))
29		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ (u + f) e. RR /\ t e. RR) -> ((u <_ (u + f) /\ (u + f) <_ t) -> u <_ t))
30	29	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((u e. RR /\ (u + f) e. RR) /\ t e. RR) -> ((u <_ (u + f) /\ (u + f) <_ t) -> u <_ t))
31		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> u e. RR)
32		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> (u + f) e. RR)
33	31, 32	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> (u e. RR /\ (u + f) e. RR))
34		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (f e. NN0 -> f e. RR)
35	33, 26, 34	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (u e. RR /\ (u + f) e. RR))
36	30, 35	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. RR) -> ((u <_ (u + f) /\ (u + f) <_ t) -> u <_ t))
37	28, 36	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. RR) -> ((u + f) <_ t -> u <_ t))
38		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (t e. (ZZ>=` M) -> t e. ZZ)
39		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (t e. ZZ -> t e. RR)
40	38, 39	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (t e. (ZZ>=` M) -> t e. RR)
41	37, 40	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> u <_ t))
42	41	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> u <_ t))
43		nn0addge2 7340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((f e. RR /\ u e. NN0) -> f <_ (u + f))
44	43	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. NN0 /\ f e. RR) -> f <_ (u + f))
45	44, 34	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> f <_ (u + f))
46	45	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. RR) -> f <_ (u + f))
47		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((f e. RR /\ (u + f) e. RR /\ g e. RR) -> ((f <_ (u + f) /\ (u + f) <_ g) -> f <_ g))
48	47	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((f e. RR /\ (u + f) e. RR) /\ g e. RR) -> ((f <_ (u + f) /\ (u + f) <_ g) -> f <_ g))
49		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> f e. RR)
50	49, 32	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. RR /\ f e. RR) -> (f e. RR /\ (u + f) e. RR))
51	50, 26, 34	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (f e. RR /\ (u + f) e. RR))
52	48, 51	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. RR) -> ((f <_ (u + f) /\ (u + f) <_ g) -> f <_ g))
53	46, 52	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. RR) -> ((u + f) <_ g -> f <_ g))
54		eluzelz 7592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (g e. (ZZ>=` M) -> g e. ZZ)
55		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (g e. ZZ -> g e. RR)
56	54, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (g e. (ZZ>=` M) -> g e. RR)
57	53, 56	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ g -> f <_ g))
58	57	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ g -> f <_ g))
59	42, 58	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> (((u + f) <_ t /\ (u + f) <_ g) -> (u <_ t /\ f <_ g)))
60		prth 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((u <_ t /\ f <_ g) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
61	59, 60	syl9 71	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> (((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> (((u + f) <_ t /\ (u + f) <_ g) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))))
62	61	exp4a 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) /\ g e. (ZZ>=` M)) -> (((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))))
63	62	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))))
64		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (g = t -> ((u + f) <_ g <-> (u + f) <_ t))
65		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (g = t -> (G` g) = (G` t))
66	65	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (g = t -> ((G` g) - B) = ((G` t) - B))
67	66	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (g = t -> (abs` ((G` g) - B)) = (abs` ((G` t) - B)))
68	67	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (g = t -> ((abs` ((G` g) - B)) < (v / 2) <-> (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))
69	68	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (g = t -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)) <-> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2))))
70	64, 69	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (g = t -> (((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) <-> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
71	70	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
72	71	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t e. (ZZ>=` M) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
73	72	a2d 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (((u + f) <_ t -> A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
74		r19.21v 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))) <-> ((u + f) <_ t -> A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))))
75	73, 74	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t e. (ZZ>=` M) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> ((u + f) <_ g -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2)))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
76	24, 63, 75	sylsyld 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((u + f) <_ t -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
77	76	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
78	77	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((ph /\ v e. RR) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)))))
79		lt2add 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((abs` ((F` t) - A)) e. RR /\ (abs` ((G` t) - B)) e. RR) /\ ((v / 2) e. RR /\ (v / 2) e. RR)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < ((v / 2) + (v / 2))))
80		climadd.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- F e. _V
81		climadd.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- G e. _V
82		climadd.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- H e. _V
83	80, 81, 82, 1, 8, 14	climaddlem1 8374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC /\ (H` t) = ((F` t) + (G` t))))
84	83	simp1d 888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (F` t) e. CC)
85	80, 81, 82, 1, 8, 14	climaddlem2 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (ph -> (A e. CC /\ B e. CC))
86	85	simplld 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (ph -> A e. CC)
87	86	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> A e. CC)
88		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((F` t) e. CC /\ A e. CC) -> ((F` t) - A) e. CC)
89	84, 87, 88	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((F` t) - A) e. CC)
90		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((F` t) - A) e. CC -> (abs` ((F` t) - A)) e. RR)
91	89, 90	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (abs` ((F` t) - A)) e. RR)
92	83	simp2d 889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (G` t) e. CC)
93	85	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (ph -> B e. CC)
94	93	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> B e. CC)
95		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((G` t) e. CC /\ B e. CC) -> ((G` t) - B) e. CC)
96	92, 94, 95	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((G` t) - B) e. CC)
97		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((G` t) - B) e. CC -> (abs` ((G` t) - B)) e. RR)
98	96, 97	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (abs` ((G` t) - B)) e. RR)
99	91, 98	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((abs` ((F` t) - A)) e. RR /\ (abs` ((G` t) - B)) e. RR))
100	16, 16	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (v e. RR -> ((v / 2) e. RR /\ (v / 2) e. RR))
101	79, 99, 100	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) /\ v e. RR) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < ((v / 2) + (v / 2))))
102	101	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < ((v / 2) + (v / 2))))
103		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((v / 2) e. RR -> (v / 2) e. CC)
104		2times 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((v / 2) e. CC -> (2 x. (v / 2)) = ((v / 2) + (v / 2)))
105	16, 103, 104	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v e. RR -> (2 x. (v / 2)) = ((v / 2) + (v / 2)))
106		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (v e. RR -> v e. CC)
107		2cn 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. CC
108		2ne0 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 =/= 0
109		divcan2 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((v e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. (v / 2)) = v)
110	107, 108, 109	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (v e. CC -> (2 x. (v / 2)) = v)
111	106, 110	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v e. RR -> (2 x. (v / 2)) = v)
112	105, 111	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (v e. RR -> ((v / 2) + (v / 2)) = v)
113	112	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> ((v / 2) + (v / 2)) = v)
114	113	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < ((v / 2) + (v / 2)) <-> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v))
115	102, 114	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v))
116	83	simp3d 890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (H` t) = ((F` t) + (G` t)))
117	116	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((H` t) - (A + B)) = (((F` t) + (G` t)) - (A + B)))
118	85	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (A e. CC /\ B e. CC))
119		addsub4 6640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC) /\ (A e. CC /\ B e. CC)) -> (((F` t) + (G` t)) - (A + B)) = (((F` t) - A) + ((G` t) - B)))
120	84, 92, 118, 119	syl21anc 1099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (((F` t) + (G` t)) - (A + B)) = (((F` t) - A) + ((G` t) - B)))
121	117, 120	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((H` t) - (A + B)) = (((F` t) - A) + ((G` t) - B)))
122	121	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) = (abs` (((F` t) - A) + ((G` t) - B))))
123		abstri 8150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((F` t) - A) e. CC /\ ((G` t) - B) e. CC) -> (abs` (((F` t) - A) + ((G` t) - B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))))
124	89, 96, 123	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (abs` (((F` t) - A) + ((G` t) - B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))))
125	122, 124	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))))
126	125	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))))
127		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((abs` ((H` t) - (A + B))) e. RR /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) e. RR /\ v e. RR) -> (((abs` ((H` t) - (A + B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
128	127	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((abs` ((H` t) - (A + B))) e. RR /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) e. RR) /\ v e. RR) -> (((abs` ((H` t) - (A + B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
129		addcl 6454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((F` t) e. CC /\ (G` t) e. CC) -> ((F` t) + (G` t)) e. CC)
130	84, 92, 129	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((F` t) + (G` t)) e. CC)
131	116, 130	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (H` t) e. CC)
132		addcl 6454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
133	87, 94, 132	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (A + B) e. CC)
134		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((H` t) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> ((H` t) - (A + B)) e. CC)
135	131, 133, 134	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((H` t) - (A + B)) e. CC)
136		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((H` t) - (A + B)) e. CC -> (abs` ((H` t) - (A + B))) e. RR)
137	135, 136	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) e. RR)
138		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((abs` ((F` t) - A)) e. RR /\ (abs` ((G` t) - B)) e. RR) -> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) e. RR)
139	91, 98, 138	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) e. RR)
140	137, 139	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) -> ((abs` ((H` t) - (A + B))) e. RR /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) e. RR))
141	128, 140	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((t e. (ZZ>=` M) /\ ph) /\ v e. RR) -> (((abs` ((H` t) - (A + B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
142	141	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (((abs` ((H` t) - (A + B))) <_ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) /\ ((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
143	126, 142	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (((abs` ((F` t) - A)) + (abs` ((G` t) - B))) < v -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
144	115, 143	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t e. (ZZ>=` M) /\ (ph /\ v e. RR)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
145	144	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((ph /\ v e. RR) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
146	145	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((ph /\ v e. RR) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
147	146	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((ph /\ v e. RR) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (((abs` ((F` t) - A)) < (v / 2) /\ (abs` ((G` t) - B)) < (v / 2)) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
148	78, 147	syldd 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((ph /\ v e. RR) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> ((u + f) <_ t -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
149	148	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((ph /\ v e. RR) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) /\ t e. (ZZ>=` M)) -> (A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> ((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
150	149	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . 12 |- (((ph /\ v e. RR) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
151	150	adantlrr 435	. . . . . . . . . . 11 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
152		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (h = (u + f) -> (h <_ t <-> (u + f) <_ t))
153	152	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (h = (u + f) -> ((h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v) <-> ((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
154	153	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (h = (u + f) -> (A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v) <-> A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
155	154	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((u + f) e. ZZ /\ A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
156		nn0addcl 7329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (u + f) e. NN0)
157		nn0z 7363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((u + f) e. NN0 -> (u + f) e. ZZ)
158	156, 157	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (u + f) e. ZZ)
159	155, 158	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((u e. NN0 /\ f e. NN0) /\ A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
160	159	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> (A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
161	160	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)((u + f) <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
162	151, 161	syld 30	. . . . . . . . . 10 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
163		raaanv 2977	. . . . . . . . . 10 |- (A.t e. (ZZ>=` M)A.g e. (ZZ>=` M)((u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ (f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) <-> (A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
164	162, 163	syl5ibr 224	. . . . . . . . 9 |- (((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) /\ (u e. NN0 /\ f e. NN0)) -> ((A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
165	164	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((u e. NN0 /\ f e. NN0) -> ((A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))))
166	165	r19.23advv 2218	. . . . . . 7 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> (E.u e. NN0 E.f e. NN0 (A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
167		reeanv 2249	. . . . . . 7 |- (E.u e. NN0 E.f e. NN0 (A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) <-> (E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))))
168	166, 167	syl5ibr 224	. . . . . 6 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> ((E.u e. NN0 A.t e. (ZZ>=` M)(u <_ t -> (abs` ((F` t) - A)) < (v / 2)) /\ E.f e. NN0 A.g e. (ZZ>=` M)(f <_ g -> (abs` ((G` g) - B)) < (v / 2))) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
169	23, 168	mpd 29	. . . . 5 |- ((ph /\ (v e. RR /\ 0 < v)) -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))
170	169	exp32 408	. . . 4 |- (ph -> (v e. RR -> (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))))
171	170	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (ph -> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
172	171	adantl 424	. 2 |- ((M e. ZZ /\ ph) -> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v)))
173	82	clm4a 8350	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ (A + B) e. CC /\ A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC) -> (H ~~> (A + B) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))))
174	173	3expb 1068	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ ((A + B) e. CC /\ A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC)) -> (H ~~> (A + B) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))))
175	85, 132	syl 12	. . . 4 |- (ph -> (A + B) e. CC)
176	131	expcom 403	. . . . 5 |- (ph -> (t e. (ZZ>=` M) -> (H` t) e. CC))
177	176	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (ph -> A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC)
178	175, 177	jca 310	. . 3 |- (ph -> ((A + B) e. CC /\ A.t e. (ZZ>=` M)(H` t) e. CC))
179	174, 178	sylan2 500	. 2 |- ((M e. ZZ /\ ph) -> (H ~~> (A + B) <-> A.v e. RR (0 < v -> E.h e. ZZ A.t e. (ZZ>=` M)(h <_ t -> (abs` ((H` t) - (A + B))) < v))))
180	172, 179	mpbird 213	1 |- ((M e. ZZ /\ ph) -> H ~~> (A + B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climadd 8377

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

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