Theorem climabslem 8408

Description: Lemma for climabsi 8409, climcji 8410, climrei 8411, and climimi 8412.

Hypotheses

Ref	Expression
climabs.1	|- A e. _V
climabs.2	|- G e. _V
climabs.3	|- M e. ZZ
climabs.4	|- F ~~> A
climabslem.5	|- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (H` (F` k))))
climabslem.6	|- A.x e. CC (H` x) e. CC
climabslem.7	|- (((F` k) e. CC /\ A e. CC) -> (abs` ((H` (F` k)) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)))

Assertion

Ref	Expression
climabslem	|- G ~~> (H` A)

Distinct variable groups:   A,k,x   k,F,x   k,G,x   k,M,x   k,H,x

Proof of Theorem climabslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climabs.4	. . . 4 |- F ~~> A
2		climabs.3	. . . . 5 |- M e. ZZ
3		climabs.1	. . . . . 6 |- A e. _V
4		climcl 8238	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ F ~~> A) -> A e. CC)
5	3, 1, 4	mp2an 761	. . . . 5 |- A e. CC
6		climabslem.5	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((F` k) e. CC /\ (G` k) = (H` (F` k))))
7	6	simplld 348	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (F` k) e. CC)
8	7	rgen 2159	. . . . 5 |- A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC
9		climrel 8236	. . . . . . . 8 |- Rel ~~>
10	9	brrelexi 4029	. . . . . . 7 |- (F ~~> A -> F e. _V)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 |- F e. _V
12	11	clm4a 8350	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ A e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(F` k) e. CC) -> (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))))
13	2, 5, 8, 12	mp3an 1191	. . . 4 |- (F ~~> A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)))
14	1, 13	mpbi 206	. . 3 |- A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x))
15	6	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) = (H` (F` k)))
16	15	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((G` k) - (H` A)) = ((H` (F` k)) - (H` A)))
17	16	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) = (abs` ((H` (F` k)) - (H` A))))
18		climabslem.7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` k) e. CC /\ A e. CC) -> (abs` ((H` (F` k)) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)))
19	18, 7, 5	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (abs` ((H` (F` k)) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)))
20	17, 19	eqbrtrd 3357	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)))
21	20	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ x e. RR) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)))
22		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((abs` ((G` k) - (H` A))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR /\ x e. RR) -> (((abs` ((G` k) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)) /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))
23	22	3expa 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((abs` ((G` k) - (H` A))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR) /\ x e. RR) -> (((abs` ((G` k) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)) /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))
24		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((G` k) e. CC /\ (H` A) e. CC) -> ((G` k) - (H` A)) e. CC)
25		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x = (F` k) -> (H` x) = (H` (F` k)))
26	25	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (F` k) -> ((H` x) e. CC <-> (H` (F` k)) e. CC))
27		climabslem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A.x e. CC (H` x) e. CC
28	26, 27	vtoclri 2360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` k) e. CC -> (H` (F` k)) e. CC)
29	7, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (H` (F` k)) e. CC)
30	15, 29	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (G` k) e. CC)
31		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = A -> (H` x) = (H` A))
32	31	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = A -> ((H` x) e. CC <-> (H` A) e. CC))
33	32, 27	vtoclri 2360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. CC -> (H` A) e. CC)
34	5, 33	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (H` A) e. CC
35	24, 30, 34	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((G` k) - (H` A)) e. CC)
36		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((G` k) - (H` A)) e. CC -> (abs` ((G` k) - (H` A))) e. RR)
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) e. RR)
38		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` k) e. CC /\ A e. CC) -> ((F` k) - A) e. CC)
39	5, 38	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` k) e. CC -> ((F` k) - A) e. CC)
40		abscl 8084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` k) - A) e. CC -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
41	7, 39, 40	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. (ZZ>=` M) -> (abs` ((F` k) - A)) e. RR)
42	37, 41	jca 310	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (ZZ>=` M) -> ((abs` ((G` k) - (H` A))) e. RR /\ (abs` ((F` k) - A)) e. RR))
43	23, 42	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ x e. RR) -> (((abs` ((G` k) - (H` A))) <_ (abs` ((F` k) - A)) /\ (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))
44	21, 43	mpand 765	. . . . . . . . . 10 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ x e. RR) -> ((abs` ((F` k) - A)) < x -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))
45	44	imim2d 28	. . . . . . . . 9 |- ((k e. (ZZ>=` M) /\ x e. RR) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
46	45	expcom 403	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (k e. (ZZ>=` M) -> ((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))))
47	46	r19.21aiv 2175	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
48		ralim 2164	. . . . . . 7 |- (A.k e. (ZZ>=` M)((j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> (j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)) -> (A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
49	47, 48	syl 12	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
50	49	reximdv 2202	. . . . 5 |- (x e. RR -> (E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x) -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
51	50	imim2d 28	. . . 4 |- (x e. RR -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))))
52	51	ralimia 2166	. . 3 |- (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((F` k) - A)) < x)) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
53	14, 52	ax-mp 7	. 2 |- A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))
54	30	rgen 2159	. . 3 |- A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. CC
55		climabs.2	. . . 4 |- G e. _V
56	55	clm4a 8350	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ (H` A) e. CC /\ A.k e. (ZZ>=` M)(G` k) e. CC) -> (G ~~> (H` A) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x))))
57	2, 34, 54, 56	mp3an 1191	. 2 |- (G ~~> (H` A) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. (ZZ>=` M)(j <_ k -> (abs` ((G` k) - (H` A))) < x)))
58	53, 57	mpbir 207	1 |- G ~~> (H` A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   - cmin 6445   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  climabsi 8409  climcji 8410  climrei 8411  climimi 8412

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain